Un fait connu?

$\mathbb{Q}$ est dense dans $\mathbb{R}$

Les valeurs de la suite parcourent $\mathbb{Q}$.

PS:
Il suffit que l'application $s$ soit surjective et on a le même résultat sauf erreur.

On peut, me semble-t-il, au moins expliciter aisément une application $s$, surjective, de $\mathbb{N}$ dans $\mathbb{Q}\cup \{\infty\}$

Tu dessines un repère orthonormé et tu ne considères que les points à coordonnées entières.
On tourne (dans le sens que tu veux) en spirale autour de l'origine si au $n$-ième pas on atteint le point de coordonnées $(x,y)$ si $y=0$ $s(n)=\infty$ autrement $s(n)=\dfrac{x}{y}$. La spirale va passer par tous les points à coordonnées entières.

Oui, je vois ce que tu veux dire. On considère toutes les droites parallèles à la droite $(AB)$ avec $A$ de coordonnées $(1,0)$ et $B$ de coordonnées $(0,1)$ dans le quart de plan $x\geq 0,y\geq 0$ on considère la "trace" de ces droites.
Ces "traces" sont des segments dont les extrémités sont des points qui sont sur l'axe de $x$ ou sur l'axe des $y$.
On se donne un sens de parcours de ces segments et on les parcourt un à un dans ce sens.

PS:
On s'intéresse qu'aux droites qui passent par des points à coordonnées entières.

Georges:
Alors la propriété énoncée dès le départ est fausse?

les $s(n)$ vont bien parcourir l'ensemble de tous les rationnels, mais comment on extrait une sous-suite qui a pour valeur d'adhérence un nombre réel donné à l'avance sans rien savoir de plus sur $s$?

Georges Abitbol:

Alors je ne vois pas le problème qu'on ne suppose $s$ que surjective.

Par ailleurs, si je me souviens bien de la définition d'une valeur d'adhérence d'une suite $(u_n)$ (dans un espace normé complet) C'est la limite d'une sous-suite extraite convergente de la suite $(u_n)$.
Si ma définition est correcte il n'est pas immédiat me semble-t-il qu'en ne supposant rien de plus sur l'application $s$ qu'on puisse arriver à extraire une sous-suite convergente de la suite $(s(n))$ qui converge vers un réel donné à l'avance.

Le résultat reste vrai si $s$ est une surjection de $\mathbb N$ sur $\mathbb Q$ et découle rapidement de la densité de $\mathbb Q$ dans $\mathbb R$.

C'est quand même amusant et un peu contre-intuitif au premier abord de passer de "pour tout réel, il existe une suite de rationnels convergeant vers ce réel" à "pour toute suite (surjective), pour tout réel, il existe une sous-suite convergeant vers ce réel".

Soit $s:\N\to\Q$ une bijection, et $x\in\R$.

À quelle condition sur $x$ existe-t-il $\phi : \N \to\N$ strictement croissante telle que $|x - s \circ \phi|$ soit strictement décroissante ?
Montrer que dans ce cas, il existe une unique $\phi$ comme-ci dessus inférieure à toutes les autres pour l'ordre lexicographique.