Un fait connu?
dans Analyse
Bonjour à tous,
Saviez-vous que si $s$ est une bijection de $\N$ sur $\Q$, alors tout réel $a$ est valeur d’adhérence de la suite $(s(n))_{n\in \N}$? J’ai trouvé ça joli.
Au plaisir de vous lire,
B&B
Saviez-vous que si $s$ est une bijection de $\N$ sur $\Q$, alors tout réel $a$ est valeur d’adhérence de la suite $(s(n))_{n\in \N}$? J’ai trouvé ça joli.
Au plaisir de vous lire,
B&B
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Réponses
Les valeurs de la suite parcourent $\mathbb{Q}$.
PS:
Il suffit que l'application $s$ soit surjective et on a le même résultat sauf erreur.
Tu dessines un repère orthonormé et tu ne considères que les points à coordonnées entières.
On tourne (dans le sens que tu veux) en spirale autour de l'origine si au $n$-ième pas on atteint le point de coordonnées $(x,y)$ si $y=0$ $s(n)=\infty$ autrement $s(n)=\dfrac{x}{y}$. La spirale va passer par tous les points à coordonnées entières.
Ces "traces" sont des segments dont les extrémités sont des points qui sont sur l'axe de $x$ ou sur l'axe des $y$.
On se donne un sens de parcours de ces segments et on les parcourt un à un dans ce sens.
PS:
On s'intéresse qu'aux droites qui passent par des points à coordonnées entières.
Alors la propriété énoncée dès le départ est fausse?
les $s(n)$ vont bien parcourir l'ensemble de tous les rationnels, mais comment on extrait une sous-suite qui a pour valeur d'adhérence un nombre réel donné à l'avance sans rien savoir de plus sur $s$?
Alors je ne vois pas le problème qu'on ne suppose $s$ que surjective.
Par ailleurs, si je me souviens bien de la définition d'une valeur d'adhérence d'une suite $(u_n)$ (dans un espace normé complet) C'est la limite d'une sous-suite extraite convergente de la suite $(u_n)$.
Si ma définition est correcte il n'est pas immédiat me semble-t-il qu'en ne supposant rien de plus sur l'application $s$ qu'on puisse arriver à extraire une sous-suite convergente de la suite $(s(n))$ qui converge vers un réel donné à l'avance.
$x_0=1$, puis, pour tout $n$, $u_{n+1}=\frac1{2E(u_n)+1-u_n}$, où $E(\cdot)$ représente la partie entière. Les premières valeurs sont
$$1, 1/2, 2, 1/3, 3/2, 2/3, 3, 1/4, 4/3, \cdots$$
Pour ceux que cela intéresse, je joins un énoncé d'un ancien sujet d'option info qui explique le pourquoi du comment -- cela commence à la question 4.
Cordialement, j__j
C'est quand même amusant et un peu contre-intuitif au premier abord de passer de "pour tout réel, il existe une suite de rationnels convergeant vers ce réel" à "pour toute suite (surjective), pour tout réel, il existe une sous-suite convergeant vers ce réel".
Par exemple , on prend le réel $\sqrt{2}$ cela ne me semble pas évident de construire une sous-suite de la suite $(s(n))$ qui converge vers $\sqrt{2}$ (ne connaissant rien à priori sur $s$ hormis que c'est une bijection de l'ensemble des entiers naturels sur l'ensemble des nombres rationnels).
À quelle condition sur $x$ existe-t-il $\phi : \N \to\N$ strictement croissante telle que $|x - s \circ \phi|$ soit strictement décroissante ?
Montrer que dans ce cas, il existe une unique $\phi$ comme-ci dessus inférieure à toutes les autres pour l'ordre lexicographique.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Arbre_de_Stern-Brocot