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Un fait connu?

Envoyé par Boole et Bill 
Un fait connu?
il y a cinq mois
Bonjour à tous,

Saviez-vous que si $s$ est une bijection de $\N$ sur $\Q$, alors tout réel $a$ est valeur d’adhérence de la suite $(s(n))_{n\in \N}$? J’ai trouvé ça joli.

Au plaisir de vous lire,
B&B
Re: Un fait connu?
il y a cinq mois
avatar
$\mathbb{Q}$ est dense dans $\mathbb{R}$

Les valeurs de la suite parcourent $\mathbb{Q}$.

PS:
Il suffit que l'application $s$ soit surjective et on a le même résultat sauf erreur.

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a cinq mois et a été effectuée par Fin de partie.
Re: Un fait connu?
il y a cinq mois
Oui c’est vrai mais je trouvais que c’était une jolie manière de le présenter. Cela donne une idée de la difficulté d’expliciter une bijection
Re: Un fait connu?
il y a cinq mois
avatar
On peut, me semble-t-il, au moins expliciter aisément une application $s$, surjective, de $\mathbb{N}$ dans $\mathbb{Q}\cup \{\infty\}$

Tu dessines un repère orthonormé et tu ne considères que les points à coordonnées entières.
On tourne (dans le sens que tu veux) en spirale autour de l'origine si au $n$-ième pas on atteint le point de coordonnées $(x,y)$ si $y=0$ $s(n)=\infty$ autrement $s(n)=\dfrac{x}{y}$. La spirale va passer par tous les points à coordonnées entières.

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a cinq mois et a été effectuée par Fin de partie.
Re: Un fait connu?
il y a cinq mois
Il y aussi le procédé en diagonale, on part de $(0,0)$, puis on va en $(1,0)$, puis en $(0,1)$. Puis à la diagonale $n$ : on part de $(n,0)$ jusqu’en $(0,n)$, en passant par tous les points $(n-k,k)$. Tu vois ce que je veux dire?
Re: Un fait connu?
il y a cinq mois
avatar
Oui, je vois ce que tu veux dire. On considère toutes les droites parallèles à la droite $(AB)$ avec $A$ de coordonnées $(1,0)$ et $B$ de coordonnées $(0,1)$ dans le quart de plan $x\geq 0,y\geq 0$ on considère la "trace" de ces droites.
Ces "traces" sont des segments dont les extrémités sont des points qui sont sur l'axe de $x$ ou sur l'axe des $y$.
On se donne un sens de parcours de ces segments et on les parcourt un à un dans ce sens.

PS:
On s'intéresse qu'aux droites qui passent par des points à coordonnées entières.

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a cinq mois et a été effectuée par Fin de partie.
Re: Un fait connu?
il y a cinq mois
@FdP : Ce que tu dis dans ton premier message ne suffit pas. "Valeur d'adhérence de $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$" ne veut pas dire "point adhérent à $\{u_n \ \vert \ n \in \mathbb{N}\}$".
Re: Un fait connu?
il y a cinq mois
avatar
Georges:
Alors la propriété énoncée dès le départ est fausse?

les $s(n)$ vont bien parcourir l'ensemble de tous les rationnels, mais comment on extrait une sous-suite qui a pour valeur d'adhérence un nombre réel donné à l'avance sans rien savoir de plus sur $s$?

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)
Re: Un fait connu?
il y a cinq mois
Non, non, c'est vrai ! Pour toute partie finie $F$ de $\mathbb{Q}$, $\mathbb{Q} \setminus F$ est dense dans $\mathbb{R}$ aussi. Donc, si $x$ est un réel, on pourra quand même trouver les $s(n)$ aussi proches de $x$ qu'on veut avec $n$ aussi grand qu'on veut.
Re: Un fait connu?
il y a cinq mois
avatar
Georges Abitbol:

Alors je ne vois pas le problème qu'on ne suppose $s$ que surjective.

Par ailleurs, si je me souviens bien de la définition d'une valeur d'adhérence d'une suite $(u_n)$ (dans un espace normé complet) C'est la limite d'une sous-suite extraite convergente de la suite $(u_n)$.
Si ma définition est correcte il n'est pas immédiat me semble-t-il qu'en ne supposant rien de plus sur l'application $s$ qu'on puisse arriver à extraire une sous-suite convergente de la suite $(s(n))$ qui converge vers un réel donné à l'avance.

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)
Re: Un fait connu?
il y a cinq mois
On a même une suite récurrente explicite qui énumère tous les rationnels $>0$ :

$x_0=1$, puis, pour tout $n$, $u_{n+1}=\frac1{2E(u_n)+1-u_n}$, où $E(\cdot)$ représente la partie entière. Les premières valeurs sont

$$1, 1/2, 2, 1/3, 3/2, 2/3, 3, 1/4, 4/3, \cdots$$

Pour ceux que cela intéresse, je joins un énoncé d'un ancien sujet d'option info qui explique le pourquoi du comment -- cela commence à la question 4.

Cordialement, j__j
Pièces jointes:
ouvrir | télécharger - mathnet.pdf (32.3 KB)
Re: Un fait connu?
il y a cinq mois
Le résultat reste vrai si $s$ est une surjection de $\mathbb N$ sur $\mathbb Q$ et découle rapidement de la densité de $\mathbb Q$ dans $\mathbb R$.

C'est quand même amusant et un peu contre-intuitif au premier abord de passer de "pour tout réel, il existe une suite de rationnels convergeant vers ce réel" à "pour toute suite (surjective), pour tout réel, il existe une sous-suite convergeant vers ce réel".
Re: Un fait connu?
il y a cinq mois
avatar
Une définition possible d'une valeur d'adhérence est bien ce que j'ai écrit plus haut semble-t-il.

Par exemple , on prend le réel $\sqrt{2}$ cela ne me semble pas évident de construire une sous-suite de la suite $(s(n))$ qui converge vers $\sqrt{2}$ (ne connaissant rien à priori sur $s$ hormis que c'est une bijection de l'ensemble des entiers naturels sur l'ensemble des nombres rationnels).

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)
Re: Un fait connu?
il y a cinq mois
Soit $s:\N\to\Q$ une bijection, et $x\in\R$.

À quelle condition sur $x$ existe-t-il $\phi : \N \to\N$ strictement croissante telle que $|x - s \circ \phi|$ soit strictement décroissante ?
Montrer que dans ce cas, il existe une unique $\phi$ comme-ci dessus inférieure à toutes les autres pour l'ordre lexicographique.
Re: Un fait connu?
il y a cinq mois
avatar
concernant une bijection possible entre l'ensemble des entiers naturels et l'ensemble des rationnels positifs:
[fr.wikipedia.org]

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a cinq mois et a été effectuée par Fin de partie.
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