Équation différentielle du second ordre

Je n'ai sans doute pas été clair sur deux points :

- d'une part on applique en pratique la MVC comme tu l'as indiqué, mon message a pour but d'expliquer l'apparition de la première relation (car si la MVC est naturelle au premier ordre, elle peut apparaître curieuse à un ordre supérieur)

- d'autre part, bien entendu $\exp(xA)=\begin{pmatrix} f(x) & g(x) \\ f'(x) & g'(x) \end{pmatrix}$ et $Y_0(x)=\begin{pmatrix} \lambda(x) \\ \mu(x)\end{pmatrix}$

Je précise mon début, toujours avec $a=1$.

1) Avec le $Y$ introduit, nous allons avoir $A=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -c & -b \end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix} 0 \\ -d\end{pmatrix}$

2) si tu notes $f$, $g$ une base de l'espace des solutions en $y$ pour l'équation sans second membre, effectivement toute solution s'écrira sous la forme $y(x)=\lambda f(x)+\mu g(x)$ avec $\lambda$ et $\mu$ réels. De ce fait, en $Y$ l'expression est :
$$ Y(x)=\begin{pmatrix} f(x) & g(x) \\ f'(x) & g'(x) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \lambda \\ \mu \end{pmatrix}.$$

La matrice qui apparaît est en fait l'exponentielle de la matrice $xA$ et le vecteur est le vecteur $Y_0$. Remplaçant $Y_0$ par une fonction, comme pour la MVC en dimension $1$, je cherche une solution particulière sous la forme $Y(x)=\exp(xA) Y_0(x)$. Je dérive cette expression de manière habituelle, en sachant que la dérivée par rapport à $x$ de $\exp(xA)$ est $A\exp(xA)$ (si tu ne sais pas manipuler l'exponentielle de matrice, cela doit se voir en conservant les $f,g$ et en utilisant le fait que $f$ et $g$ étant solutions de l'équation sans second membre, on remplace $f''$ et $g''$ par leurs expressions en $f$ et $g$, mais si tu sais différentier l'exponentielle de matrice, ça va plus vite).

Par conséquent $Y'(x)=A \exp(xA)Y_0(x)+\exp(xA) Y_0'(x)=A Y(x)+\exp(xA) Y_0'(x)$.

Ainsi, $Y$ est une solution particulière ssi $\exp(xA) Y_0'(x)=B(x)$.

Or, ceci s'écrit :
$$\begin{pmatrix} f(x) & g(x) \\ f'(x) & g'(x) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \lambda'(x) \\ \mu'(x)\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0 \\ -d\end{pmatrix}$$

Si tu ré-écris les deux équations, elles te donnent exactement le système que tu as posé (sauf erreur d'écriture de ma part à cette heure tardive)

EDIT : oubli d'un second dollar de fermeture Latex