Convolution
Réponses
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Si $T$ est une distribution supportée sur un compact alors pour toute distribution $S$ la distribution $S \ast T = T \ast S$ est bien définie par $ (S \ast T) \ast \phi= T \ast (S \ast \phi )=S \ast (T \ast \phi)$
parce que $S \ast \phi \in C^\infty$ et $T \ast \phi \in C^\infty_c$ pour $\phi\in C^\infty_c$
l'aspect commutativité découle de $S = \lim_{n \to \infty} S \ast \varphi_n \in C^\infty $ qui découle du fait que $S$ doit être continu pour la topologie de $C^\infty_c$
$1 \ast \delta' = 0$ et $H \ast \delta' = \delta$ -
mais $1$ et $H$ ne sont pas à support compact.
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Et ? $\delta'$ et $0$ sont à support compact. Ce qui n'est pas défini c'est $1 \ast H $. Donc $(T \ast S) \ast U$ n'est pas égal à $T \ast (S \ast U)$ si seule $T$ est à support compact. L'associativité n'est valable que si deux des distributions sont à support compact
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Je ne parle pas de la condition pour l'associativité. Ma question est: pourquoi le $1*(\delta' * H)$ et $(1*\delta')*H$ sont bien définis?
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Très drôle, ça t'arrive de lire les réponses aux "questions" que tu poses ? Si je m'em**** à mentionner la commutativité et l'associativité c'est parce que c'est exactement le problème qui se pose.
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Je pense qu'il y un gros mal entendu. Je sais que c'est le problème qui se pose et je sais faire le calcul et effectivement on ne retrouve pas le même résultat donc il n y a pas d'associativité car il faut qu'au moins deux distributions soient à support compact !
Ma question est : quand est-ce qu'on dit de $T*(S*U)$ qu'il est bien défini ? où $T, S$ et $U$ sont des distributions. -
Bonsoir Gebrane
et quand est ce qu'on dit de $T *S$ qu'il est bien défini? -
Il suffit que $\mathrm{supp}(T) \cap \big(K - \mathrm{supp}(S)\big)$ soit compact pour tout compact $K$.
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Bonjour
ok Cyrano c'est bien la condition que je cherchais. Maintenant en pratique, pour montrer que $(1*\delta')*H$ est bien définie, tout d'abord $1*\delta'$ est bien défini car $\delta'$ est à support compact. Pourquoi $(1*\delta')*H$ est bien défini? d'après la définition que donne Cyrano il faut connaitre $Supp(1*\delta')$. Comment le trouver? -
(De passage) Le support de $1*\delta ' $ est l'ensemble videLe 😄 Farceur
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Salut gebrane, ça faisait longtemps !
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Oui et l'ensemble vide n'est pas compact! Alors comment expliquer l'existence?
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AD, pourquoi as-tu modifié mon précédent post pour y introduire une erreur ? (Sans reproches hein :-) )
mati : L'ensemble vide est compact. -
Bonjour Cyrano
Je vais faire mon candide.
Quelle est la signification de $ \big(K - \mathrm{supp}(S)\big)$ ?
AD -
Il s'agit de l'ensemble des $x-y$ avec $x\in K$ et $y \in supp(S)$. (Ici le signe $-$ est simplement la soustraction dans $\R^n$.)
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Ah ! J'étais complètement à côté de la plaque ! :-S
Excuse-moi.
AD -
Merci Poirot pour ton gentil mot
Une bonne question pour mati; pourquoi le vide est compact ?Le 😄 Farceur
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Bonjour!
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