Bonjour
comment justifier que $(1*\delta')*H$ est bien défini? Où $\delta$ note Dirac, $H$ la fonction de Heaviside et * note le produit de convolution.
Si $T$ est une distribution supportée sur un compact alors pour toute distribution $S$ la distribution $S \ast T = T \ast S$ est bien définie par $ (S \ast T) \ast \phi= T \ast (S \ast \phi )=S \ast (T \ast \phi)$
parce que $S \ast \phi \in C^\infty$ et $T \ast \phi \in C^\infty_c$ pour $\phi\in C^\infty_c$
l'aspect commutativité découle de $S = \lim_{n \to \infty} S \ast \varphi_n \in C^\infty $ qui découle du fait que $S$ doit être continu pour la topologie de $C^\infty_c$
Et ? $\delta'$ et $0$ sont à support compact. Ce qui n'est pas défini c'est $1 \ast H $. Donc $(T \ast S) \ast U$ n'est pas égal à $T \ast (S \ast U)$ si seule $T$ est à support compact. L'associativité n'est valable que si deux des distributions sont à support compact
Très drôle, ça t'arrive de lire les réponses aux "questions" que tu poses ? Si je m'em**** à mentionner la commutativité et l'associativité c'est parce que c'est exactement le problème qui se pose.
Je pense qu'il y un gros mal entendu. Je sais que c'est le problème qui se pose et je sais faire le calcul et effectivement on ne retrouve pas le même résultat donc il n y a pas d'associativité car il faut qu'au moins deux distributions soient à support compact !
Ma question est : quand est-ce qu'on dit de $T*(S*U)$ qu'il est bien défini ? où $T, S$ et $U$ sont des distributions.
Bonjour
ok Cyrano c'est bien la condition que je cherchais. Maintenant en pratique, pour montrer que $(1*\delta')*H$ est bien définie, tout d'abord $1*\delta'$ est bien défini car $\delta'$ est à support compact. Pourquoi $(1*\delta')*H$ est bien défini? d'après la définition que donne Cyrano il faut connaitre $Supp(1*\delta')$. Comment le trouver?
Réponses
parce que $S \ast \phi \in C^\infty$ et $T \ast \phi \in C^\infty_c$ pour $\phi\in C^\infty_c$
l'aspect commutativité découle de $S = \lim_{n \to \infty} S \ast \varphi_n \in C^\infty $ qui découle du fait que $S$ doit être continu pour la topologie de $C^\infty_c$
$1 \ast \delta' = 0$ et $H \ast \delta' = \delta$
Ma question est : quand est-ce qu'on dit de $T*(S*U)$ qu'il est bien défini ? où $T, S$ et $U$ sont des distributions.
En passant, $T*(S*U)$ est bien défini si $W=S*U$ et $T*W$ sont bien définis !
et quand est ce qu'on dit de $T *S$ qu'il est bien défini?
ok Cyrano c'est bien la condition que je cherchais. Maintenant en pratique, pour montrer que $(1*\delta')*H$ est bien définie, tout d'abord $1*\delta'$ est bien défini car $\delta'$ est à support compact. Pourquoi $(1*\delta')*H$ est bien défini? d'après la définition que donne Cyrano il faut connaitre $Supp(1*\delta')$. Comment le trouver?
mati : L'ensemble vide est compact.
Je vais faire mon candide.
Quelle est la signification de $ \big(K - \mathrm{supp}(S)\big)$ ?
AD
Excuse-moi.
AD
Une bonne question pour mati; pourquoi le vide est compact ?