Les intégrales

Bonjour,

Pour la première, une récurrence de la forme $P_n(x) +(-1)^n \ln(1+x),x\in \R, n\in \N$ avec $P_n$ un polynôme de degré $n$...
Pour la deuxième, de même.

Tyoussef :

Fait 1 (déjà mentionné par Poirot):
\begin{align}\ln 2=\int_0^1 \frac{1}{1+x}\,dx\end{align}

Fait 2:
\begin{align}\int_0^1 \frac{1}{1+x}\,dx=\int_0^1 \frac{1+x^{2n+1}}{1+x}\,dx-\int_0^1 \frac{x^{2n+1}}{1+x}\,dx\end{align}

Fait 3: ($x\neq -1$ et $n$, entier naturel)
\begin{align}\frac{1+x^{2n+1}}{1+x}&=\frac{1-(-x)^{2n+1}}{1-(-x)}\\
&=1-x+x^2+...(-1)^kx^k+...+x^{2n}\end{align}

Fait 4: ($k$ un entier naturel)
\begin{align} \int_0^1 x^k\,dx=\frac{1}{k+1}\end{align}

Fait 5: ($n$ entier naturel)
\begin{align}0\leq \int_0^1 \frac{x^{2n+1}}{1+x}\,dx\leq \int_0^1 x^{2n+1}\,dx\end{align}
Puisque l'intégrale dans le membre de droite vaut $\frac{1}{2n+2}$, l'autre intégrale, qui est positive, tend vers $0$ quand $n$ tend vers l'infini.

Donc, pour $n$ entier naturel,
\begin{align}\ln 2&=\int_0^1 \frac{1}{1+x}\,dx\\
&=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2n+1}-R_n\end{align}

Avec $\displaystyle R_n=\int_0^1 \dfrac{x^{2n+1}}{1+x}\,dx$ et $\lim_{n\rightarrow \infty} R_n=0$

NB:
Quand on divise un nombre positif par un nombre plus grand que $1$, le résultat est un nombre plus petit que le nombre de départ.

(quand on divise un gâteau en parts, on n'obtient pas plus de gâteau au total en faisant cela, hélas !)

Soient $a\geq 0,b\geq 0$
$a-\frac{a}{1+b}=a\left(1-\frac{1}{1+b}\right)=a\left(\frac{1+b}{1+b}-\frac{1}{1+b}\right)=\frac{ab}{1+b}\geq 0$
donc $\frac{a}{1+b}\leq a$