Preuve de Stone Weierstrass

Salut à tous !

Pouvez vous m'aider à prouver le théorème de Stone Weierstrass s'il vous plaît.
J'ai une preuve mais elle est fausse, je n'utilise même pas la séparation des points de l'algèbre.
Pouvez vous m'aider à la corriger s'il vous plaît.

On y va : Soit $A$ une sous algèbre de $C^{0}(K)$ avec $K$ un métrique compact.
On suppose que $A$ contient les constantes et $A$ sépare les points de $K$.

Soit $f \in C^{0}(K)$ et soit $\epsilon > 0$.
Montrons qu'il existe $h \in \bar{A}$ tel que pour tout $y \in K$ on a : $f(y) - \epsilon < h(y) < f(y) + \epsilon$.

Tout d'abord montrons que pour tout $x \in K$, il existe $r(x) > 0$ et $h_{x} \in A$ tel que pour tout $y \in B(x,r(x))$ on a : $f(y) - \epsilon < h_{x}(y) < f(y) + \epsilon$.
Puisque $A$ contient les fonctions constantes, il existe $h_{x}$ tel que $h_{x}(x) = f(x)$.
Par continuité de $h$ et $f$ il existe $r(x) >0$ tel que pour tout $y \in B(x,r(x))$ on a : $f(y) - \epsilon < h_{x}(y) < f(y) + \epsilon$.

En effet par continuité de $h_{x}$ en $x$ il existe $r_{1}>0$ tel que $y \in B(x,r_{1}))$ on a : $f(x) - \frac{\epsilon}{2} < h_{x}(y) < f(x) + \frac{\epsilon}{2}$ et par continuité de $f$ en $x$ il existe $r_{2}>0$ tel que $y \in B(x,r_{2}))$ on a : $f(x) - \frac{\epsilon}{2} < f(y) < f(x) + \frac{\epsilon}{2}$ on conclut par soustraction.

A présent par compacité $K = \cup_{i=1}^{n} B(x_{i},r_{i})$ et posons $h = \min_{i = 1,...,n} {h_{x_{i}}}$
Et on a pour tout $y \in K$ on a : $f(y) - \epsilon < h(y) < f(y) + \epsilon$.
Il reste à montrer que $h \in \bar{A}$.

On verra ça plus tard. Pour l'instant je pense qu'il y a une erreur j'aimerais la corriger avant de continuer.

Merci d'avance.