Étude d'une somme partielle

Bonjour,

Ne suffit-il pas d’écrire $S_n(x)=\ln P_n(x), n\in \N^*,x >1$ avec $P_n$ un polynôme et de résoudre $P_n( x)>1$ ?

Si je ne me trompe pas, la fonction $t\mapsto \ln(e^t - 1)$ est concave.

Donc la suite $\ln(x^k - 1)$ l'est aussi quand $k$ varie, à $x>1$ fixé.

Tu as trouvé la valeur où la somme est la plus petite (négative) : $k = \big\lfloor \frac{\ln(2)}{\ln(x)} \big\rfloor$.

Pour que la somme repasse positive, il faut au moins autant de termes en plus.

donc ton $n$ est $\ge2 \big\lfloor \frac{\ln(2)}{\ln(x)} \big\rfloor$.

À part ça, faire une comparaison série-intégrale ?

C'est un "vrai exo", ou juste une question "comme ça" ?