Approche intuitive.

Je pense que tu parles avec condition initiale, et de la solution MAXIMALE, sans quoi il n'y a bien entendu pas unicité.

Une approche "intuitive" pourrait être la suivante :

- déjà l'égalité de deux solutions va se produire sur un fermé (non vide grâce à la condition initiale) donc il suffit de voir son aspect ouvert, ce qui localise les choses. Ainsi, tu peux désormais supposer que $f$ est en fait lipschitzienne par rapport à sa seconde variable.

- lorsque l'équation est $x'=kx$ avec $k$ constante, on vérifie facilement l'existence et l'unicité d'une solution définie sur $\R$ une fois la condition initiale fixée, en effet à coup de facteur intégrant, on ramène l'équation à $(e^{-kt}x(t))'=0$. En l'occurrence si par exemple ta solution a la condition $x(t_0)=0$, c'est la solution nulle.

- la différence entre deux solutions $z$ satisfait une inéquation du type $|z'(t)| \leq k |z(t)|$ avec $z(t_0)=0$, le coup du facteur intégrant permet de gérer les inégalités et les valeurs absolues (on appelle cela le lemme de Gronwall), et permet de se passer comme dans le cas linéaire (avec une inégalité à l'arrivée au lieu d'une égalité), on récupère ainsi $z=0$.

Il n'est en aucun cas question d'une démonstration dans mon message. Tu as écrit l'esquisse de la preuve, quant à moi j'ai proposé une intuition, qui comme souvent avec les intuitions, ne permet pas de mener directement à une preuve, juste de sentir pourquoi le résultat a une chance d'être vrai sous certaines hypothèses.

Une intuition peut ne pas convaincre, c'est d'ailleurs pour cela qu'on exige des démonstrations en maths. Elle peut aussi être fausse, raison de plus de vouloir des démonstrations.