Montrer application linéaire continue

Klai Tayan · April 2019

Bonjour à vous,

après plusieurs longs moments à cogiter, je ne vois pas comment commencer le point 1). Il me semble évident qu'il faut utiliser la linéarité de $f$ pour conclure...

Concernant le point 2), on a montré que dans $R$ une fonction différentiable est continue. Faut-il utiliser ce théorème en traitant chaques fonctions composantes? Je ne suis pas sûr de voir comment.

Merci d'avance pour vos réponses,

Klai Tayan 85644

Dom · April 2019

1)
J'y vois un théorème du cours (certes de "quel cours" ?!).
Ou alors sa démonstration...

C'est la dimension finie qui fait marcher les choses.

Remarque : on a parfois une liste de choses équivalentes dans une proposition
i) il existe M tel que
ii) est continue en 0
...

Boole et Bill · April 2019

Salut,
Pour la 1), je suppose que tu sais que toutes les normes sont équivalentes sur $\R^d$. Il suffit donc de prouver la continuité pour une certaine norme (laquelle ;-) ). Et oui il faut utiliser la linéarité. Tu peux montrer qu’il suffit d’avoir la continuité en zéro. Si tu majores $||f(x)||$ par une constante que multiplie $||x||$, c’est gagné.
Pour la 2), relis bien la définition de la différentiabilité.
Bon courage!

Klai Tayan · April 2019

@Dom
En effet: "de quel cours?"... en tout cas pas du mien après l'avoir consulté plusieurs fois :-S
Concernant la remarque, on n'a définitivement pas vu ces équivalences en cours.

@Boole et Bill
J'utilise bien que toutes les normes sur $R^n$ sont équivalentes et j'ai pensé utiliser la norme $l_\infty$. Est-ce le bon choix? Un problème lorsque j'applique la norme est que $f$ semble alors s'appliquer à des réels (les composantes des vecteurs) plutôt qu'à des vecteurs...
Faut-il montrer que la fonction est k-lipschizienne pour un certain k? N'est-ce pas plus fort que la continuité?
Le moment où j'utilise la linéarité est le suivant: $||f(\underline{x}) - f(\underline{y})||_\infty$ $= ||f(\underline{x} - \underline{y})||_\infty$ mais je ne sais pas comment borner par $k||\underline{x} - \underline{y}||$.

Quant au point 2), en lisant la définition de la différentiabilité d'une fonction de $A$ dans $R^m$, je pense pouvoir facilement conclure en me servant du point 1).

Tryss · April 2019

Si $(e_1,\cdots e_n)$ est une base de $\R^n$, alors pour $x = \sum_{k=1}^n \lambda_k e_k$, on a $$

\|f(x)\| = \Big\| \sum_{k=1}^n \lambda_k f(e_k) \Big\| \leq \sum_{k=1}^n |\lambda_k| \| f(e_k) \| $$

Boole et Bill · April 2019

La norme infinie est en effet un bon choix. Ecris les choses correctement et tu t’apercevras qu’il n’y a pas de problème avec ces histoires de scalaires. En fait, Tryss t’a mis sur la bonne voie :-)

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