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Sommation par paquets

Envoyé par olafgrossebaf 
Sommation par paquets
il y a quatre mois
Bonjour à tous,
Je suis tombé dans la correction d'un exercice sur l'affirmation suivante, balancée sans justification :
$\displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{(-1)^k}{k+1} = \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{2k+1}-\frac{1}{2k+2}$
Je n'ai pas de problème à voir que c'est vrai, mais je me demande comment le justifier ? Ce qui s'en rapproche le plus me semble être le théorème de sommation par paquets, mais la série n'est pas absolument convergente ici...
Merci d'avance !



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a quatre mois et a été effectuée par AD.
Dom
Re: Sommation par paquets
il y a quatre mois
En effet ça ne « peut pas » être en l’état une sommation par paquet.

J’ai un doute : Il me semble qu’on peut quand même parler de sommation par paquet si on conserve l’ordre de sommation même si la série n’est pas absolument convergente. Les paquets doivent (C’est plutôt « il suffit ») avoir une taille bornée pour que la somme soit conservée.

Ici, ça ressemble à un changement de variable : le « k » qui change de parité tandis que « 2k+1 » et « 2k+2 » sont de parités distinctes. Essayons avec « k varie de 0 à l’infini » une autre lettre pour y voir clair, du style, « p=2k+1 » ou « p=2k+2 » ...

Je me contredis donc : c’est une sommation par paquet de taille 2.



Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a quatre mois et a été effectuée par Dom.
Re: Sommation par paquets
il y a quatre mois
Le membre de droite est la limite de la suite $S_{2p+1}$, extraite de la suite convergente $S_n$ (des sommes partielles de la série alternée). C'est pour <<désempaqueter>> que l'on aurait besoin d'hypothèses.

Cordialement, j__j
Re: Sommation par paquets
il y a quatre mois
avatar
Je ne comprends pas le problème.

Soit $N$ un entier naturel non nul.
On a bien le droit de considérer:

\begin{align}\sum_{k=0}^{2N+1}\frac{(-1)^k}{k+1}&=\sum_{k=0,\text{k pair}}^{2N+1}\frac{(-1)^k}{k+1}+\sum_{k=0,\text{k impair}}^{2N+1}\frac{(-1)^k}{k+1}\\
&=\sum_{k=0}^{N}\frac{(-1)^{2k}}{2k+1}+\sum_{k=0}^{N}\frac{(-1)^{2k+1}}{2k+2}\\
&=\sum_{k=0}^{N}\left(\frac{1}{2k+1}-\frac{1}{2k+2}\right)
\end{align}

Le membre de gauche, est une somme partielle d'une série convergente*, et le membre de droite est une somme partielle d'une série absolument convergente.

On a donc bien:
\begin{align}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k+1}&=\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{1}{2k+1}-\frac{1}{2k+2}\right)\end{align}

*: application du critère d'Abel.

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a quatre mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Fin de partie.
Re: Sommation par paquets
il y a quatre mois
avatar
Ça se démontre aussi par interversion série intégrale

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[Le meilleur moyen de fuir le monde est de pénétrer les mathématiques ]
Dom
Re: Sommation par paquets
il y a quatre mois
@Fin de partie
Le problème est simple si on en lit la première phrase du fil : "Je suis tombé dans la correction d'un exercice sur l'affirmation suivante, balancée sans justification : " (c'est moi qui colore en gras)

Nous apportons des éclaircissements, et toi tu apportes et rédiges une preuve, c'est réglé.
Re: Sommation par paquets
il y a quatre mois
avatar
Dom:

Je me méfie de ce que je crois savoir parfois.
Je vous voyais discuter de trucs, a priori, compliqués, je me disais il y a un truc que je n'ai pas du capter.
(comme hier soir avec l'utilisation du critère de d'Alembert: j'étais resté campé sur une idée)

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)
Dom
Re: Sommation par paquets
il y a quatre mois
Pas de souci !
Mon premier message est également tâtonnant...

Je n'avais donc pas compris ta manière de répondre "je ne comprends pas le problème".

D'ailleurs, c'est vrai qu'on ne sait pas à qui on s'adresse. Moi le premier, je ne dis pas souvent "@" etc.

Comme dans ce message, par exemple winking smiley
Re: Sommation par paquets
il y a quatre mois
avatar
@Dom
Bonjour,

Peux-tu m’éclaircir ce que tu veux dire dans Les paquets doivent (C’est plutôt « il suffit ») avoir une taille bornée pour que la somme soit conservée. , je crains déceler une contradiction avec ce post [www.les-mathematiques.net]

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[Le meilleur moyen de fuir le monde est de pénétrer les mathématiques ]



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a quatre mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
Re: Sommation par paquets
il y a quatre mois
Exercice :

Soit $f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \big(\frac{1}{n+x} - \frac{1}{n+1}\big)$.

1) Quel est le domainde définition de $f$ ?
2) Pour $x>0$, calculer : $f(x+1) - f(x)$.
Re: Sommation par paquets
il y a quatre mois
avatar
Est-ce que vous avez vu le message de john ? [www.les-mathematiques.net]

FdP, une nouvelle fois tu compliques inutilement grinning smiley Tu as prouvé une égalité entre deux suites, celle de gauche converge comme suite extraite, donc celle de droite aussi (c'est la même suite !) et les limites sont les mêmes, inutile de dire "le membre de droite est une somme partielle d'une série absolument convergente", ça n'a aucun rapport.



Edité 2 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a quatre mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
Re: Sommation par paquets
il y a quatre mois
avatar
Skyffer: Tu as raison.

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)
Re: Sommation par paquets
il y a quatre mois
@marsup :

1) $R$ ?
Dom
Re: Sommation par paquets
il y a quatre mois
@gebrane
Je ne crois pas (enfin, mon premier message de ce présent fil étant alambiqué...).

Si une série converge, alors quelle que soit la taille T, en faisant une sommation par paquets d'au plus T termes (pris dans le même ordre), la nouvelle série converge et a même limite que la première.

Mais la réciproque est fausse.


Dis-je des bêtises ?
Re: Sommation par paquets
il y a quatre mois
Perdu, totem !
Re: Sommation par paquets
il y a quatre mois
avatar
Allons totem, c'est quoi la définition de $f$ pour $x=0$ par exemple ?
Re: Sommation par paquets
il y a quatre mois
je suis tombé dans le panneau grinning smiley $R^+_* privé de Z- $ ?

Désolé je suis empêtré dans le Latex ...
Re: Sommation par paquets
il y a quatre mois
avatar
Totem:

Il y a des fractions dans la définition de $f$. Le réflexe minimum quand tu vois des fractions est te demander si leur dénominateur n'est pas nul.

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)
Re: Sommation par paquets
il y a quatre mois
$\R\ \backslash\ \Z_-$
$\R\ \backslash\ \Z_-$

[Plutôt "\R \setminus \Z_-" qui donne $\R \setminus \Z_-$, sans devoir ajuster les espacements. winking smiley AD]



Edité 2 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a quatre mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
Re: Sommation par paquets
il y a quatre mois
avatar
Ensuite il faut démontrer que ça converge bien ailleurs, là on a juste éliminé les valeurs où la somme partielle n'est même pas définie.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a quatre mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par skyffer3.
Re: Sommation par paquets
il y a quatre mois
avatar
@Dom
Tu as corrigé en disant (pris dans le même ordre) "des paquets de p termes consécutifs"

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[Le meilleur moyen de fuir le monde est de pénétrer les mathématiques ]
Re: Sommation par paquets
il y a quatre mois
avatar
@Skyfer

Est tu d'accord que le seul qui a répondu à la question a son juste titre est Dom ( malgré les reproches ); il affirme que le théorème des sommations par paquets s'applique ici avec la suite $v_k$ defnie par $v_1=u_0+u_1$ , ..... $v_k=u_{2k}+u_{2k+1} $

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[Le meilleur moyen de fuir le monde est de pénétrer les mathématiques ]
Re: Sommation par paquets
il y a quatre mois
avatar
Ce théorème fonctionne pour les séries qui ne convergent pas absolument?

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)
Dom
Re: Sommation par paquets
il y a quatre mois
Tiens. Dans le premier message je parle bien de conserver l’ordre de sommation.

En fait, la « sommation par paquets » signifie bien cela il me semble.
C’est l’associativité généralisée en quelques sortes.

C’est ce qui est dans mon esprit...et bien écrit explicitement, non ?

Cela dit, être précis et clair est important. On a levé un lièvre.
Re: Sommation par paquets
il y a quatre mois
avatar
Non je ne suis pas d'accord. Le seul qui a répondu de manière directe et simple est john.
Re: Sommation par paquets
il y a quatre mois
avatar
La sommation par paquets c'est bien ça:

[essaidiali.co.nf]

?

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)
Re: Sommation par paquets
il y a quatre mois
avatar
Skyffer:

J'ai lu ce qu'a écrit John-John: Il considère des trucs comme évidents qu'il ne détaille pas. Ces "évidences" je les ai précisées dans mon message me semble-t-il.


PS:
La question demeure si dans une série qui n'est que convergente (qui pourrait ne pas être absolument convergente) on a le droit de remplacer une infinité de sommes finies de termes consécutifs par leur somme (quand on a utilisé un terme on ne réutilise pas bien évidemment pour faire un autre "paquet") sans changer la nature de la série, sans changer sa "valeur"?

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a quatre mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Fin de partie.
Re: Sommation par paquets
il y a quatre mois
avatar
Ton message est parfaitement juste et c'est la même chose. J'ai juste tiqué sur la convergence du membre de droite car tu présentes cela comme une hypothèse à vérifier ce qui n'est pas le cas.

Pas de théorème de sommation par paquets ici.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a quatre mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par skyffer3.
Re: Sommation par paquets
il y a quatre mois
Un équivalent du terme général de la série est $\frac{-x}{n^2}$ , ça converge pour tout x d'aprè Riemann non ? enfin quand je dis pour tout x...je pèse mes mots grinning smiley
Re: Sommation par paquets
il y a quatre mois
avatar
On peut faire mieux qu'étudier la convergence de cette série. La deuxième question calculer $f(x+1)-f(x)$ vaut son pesant de cacahuètes aussi. smiling smiley

Cette série converge normalement sur tout compact de $\mathbb{R}$ qui ne contient pas d'entiers.

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a quatre mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Fin de partie.
Re: Sommation par paquets
il y a quatre mois
avatar
Plutôt équivalent à $(1-x)/n^2$ sauf erreur de part mais sinon c'est bon. Tu as donc démontré que c'est le bon domaine de définition. Il reste la question 2.



Edité 2 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a quatre mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par skyffer3.
Re: Sommation par paquets
il y a quatre mois
avatar
@FDP
Bonjour

Tu peux regarder le théorème 1.44 fichier joint
Skyfer exagère en disant Pas de théorème de sommation par paquets ici.

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[Le meilleur moyen de fuir le monde est de pénétrer les mathématiques ]



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a quatre mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
Pièces jointes:
ouvrir | télécharger - gebrane cours serie.pdf (1.51 MB)
Re: Sommation par paquets
il y a quatre mois
avatar
Le seul théorème qu'on a utilisé est la convergence des suites extraites d'une suite convergente. Donc je ne vois pas où j'exagère ou alors on ne parle pas du même théorème (qui de toute façon ne s'applique qu'aux séries absolument convergentes).
Re: Sommation par paquets
il y a quatre mois
avatar
@Skyfer

Connais-tu cette version des sommations par paquets qui ne demande pas la convergence absolue ?

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[Le meilleur moyen de fuir le monde est de pénétrer les mathématiques ]


Re: Sommation par paquets
il y a quatre mois
2) $\frac{-1}{x}$ ?

Je ne comprends pas pourquoi on calcule pour $x>0$...
Re: Sommation par paquets
il y a quatre mois
Alors, pour ceux qui sont pas fatigués, voici des questions 3, 4 et 5.

3) Montrer que la fonction $f$ est convexe.
4) Trouver, pour $\epsilon>0$ une fonction $f_\epsilon : \R_+^* \to \R$ telle que $\forall x > 0$, on ait : $\frac{1}{\epsilon} \cdot \big[f_\epsilon(x+\epsilon) - f_\epsilon(x)\big] = \frac{1}{x}$, et $f_\epsilon(1) = 0$.
5) A-t-on : $\lim_{\epsilon\to0} f_\epsilon (x) = - \ln(x)$ ?
partout ? uniformément sur tout segment ? uniformément sur tout segment avec ses dérivées ?

et 6), mais j'ai honte

6) étudier sur l'espace le plus intéressant possible l'application $\displaystyle \alpha : g \mapsto \Bigg(x \mapsto \int_{x}^{x+1} g(t) dt\Bigg)$
(bijectivité, réciproque ? Calculer l'image réciproque de $x\mapsto x^n$, de $x \mapsto \int_0^{x} \ln(t) dt$ : antécedents convexes, polynomiaux...)



Edité 3 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a quatre mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par marsup.
Re: Sommation par paquets
il y a quatre mois
avatar
Gebrane, ne je connais pas ce théorème, mais peu importe je ne m'en suis pas servi, on s'est juste servi d'un théorème simplissime vu lors du premier cours d'analyse : la convergence des suites extraites. Difficile de faire plus simple et plus rapide. Dans ton théorème c'est la réciproque qui est dure (enfin on s'entend, ça reste évident et ça prend deux lignes), et on ne l'utilise pas. L'implication si $\sum u_n$ converge alors $\sum v_n$ aussi et les limites sont les mêmes c'est exactement un cas particulier du théorème des suites extraites ...



Edité 6 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a quatre mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par skyffer3.
Re: Sommation par paquets
il y a quatre mois
avatar
Je ne parle pas de faire simple, le titre de sa question était sommation par paquets et Dom a dit oui le théorème s'applique, c'est tout .
Sans rancunesgrinning smiley
Bonne fin de soirée cher compagnon

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[Le meilleur moyen de fuir le monde est de pénétrer les mathématiques ]
Dom
Re: Sommation par paquets
il y a quatre mois
Bon, alors je me dis que cet intitulé "sommation par paquets" a plusieurs acceptions.

Pour moi, on peut parler de "sommation par paquets" ici car on regroupe deux termes consécutifs pour former un nouveau terme général.
1) N'est-ce pas cela l'objet de la "sommation par paquets" ?

Puis, il existe des "théorèmes de sommations par paquets".
J'en ai un qui ne parle pas de séries absolument convergentes.
2) Sur cette question je veux bien faire amende honorable : un théorème le plus usuel possible est peut-être celui qui concerne les familles sommables (ou absolument convergentes).
Là où skyffer a raison c'est que l'on peut se passer d'un théorème (et je crois qu'il veut dire que là on n'applique pas celui qu'il connaît).

3)
Je pose un cliché d'un poly (J. HENRY, Notes de cours, Orsay, 2006) qui n'utilise pas "sommation par paquets" mais "sommation par groupement de termes consécutifs" dont il est vrai que dans mon esprit c'est exactement la même chose.

On peut créer d'autres théorèmes, par exemple, sans supposer que la suite $a$ converge vers $0$ et on change un peu l'assertion (Si la série de $a$ converge, alors...).



Edité 2 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a quatre mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Dom.


Re: Sommation par paquets
il y a quatre mois
avatar
Gebrane, ton théorème ce n'est carrément pas ce qu'on entend par sommation par paquets. D'ailleurs l'auteur du post dit bien que le problème est qu'on n'a pas la convergence absolue, preuve qu'il parlait bien du vrai théorème de sommation par paquets et pas de ton cas "toy" fini ^^ Sans rancune winking smiley



Edité 2 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a quatre mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par skyffer3.
Dom
Re: Sommation par paquets
il y a quatre mois
Oui, je suis en train de me renseigner. Cela m'intrigue.
Oui, oui j'avais vu cette histoire d'absolue convergence (dans le message original), et j'ai même cru (par prétention, par péché d'orgueil ?) qu'il confondait, voire qu'il faisait une erreur.

Pas de souci, je trouve nos échanges d'une cordialité très digne.



Edité 5 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a quatre mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Dom.
Re: Sommation par paquets
il y a quatre mois
Désolé de vous interrrompre, quelqu'un peut me répondre ?
Re: Sommation par paquets
il y a quatre mois
avatar
Donne ta démonstration, les maths c'est pas des devinettes grinning smiley
Re: Sommation par paquets
il y a quatre mois
Repose ta question, totem !
Re: Sommation par paquets
il y a quatre mois
avatar
Totem:

Je pense qu'il y a une erreur. Il faut considérer que $x$ n'est pas un entier. Si $x$ n'est pas un entier, $x+1$ non plus.
Après que tu prennes $x$ quelconque non entier, comme ça à vue je dirais que cela n'a pas d'importance pour cette question me semble-t-il.

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)
Re: Sommation par paquets
il y a quatre mois
Si la question c'est "$f(x+1) = f(x) - \frac{1}{x}$ ?" la réponse est "oui".
Si la question c'est "pourquoi $x>0$ ?" la réponse est "parce que c'est le morceau qui m'intéresse" : voir questions 3,4,5 !



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a quatre mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par marsup.
Re: Sommation par paquets
il y a quatre mois
avatar
Marsup:
$x>0$ et n'appartenant pas à $\mathbb{Z_{\leq 0}}$

Ok j'ai compris. grinning smiley
(j'avais cru voir un terme en $\dfrac{1}{n-x}$ dans la série d'où mon insistance à parler d'entiers)

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a quatre mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Fin de partie.
Re: Sommation par paquets
il y a quatre mois
@marsup :moi j'ai un signe -...
Re: Sommation par paquets
il y a quatre mois
avatar
Pour une fonction convexe $f$ on sait que si $a+b=1$ alors $f(au+bv)\leq af(u)+bf(v)$ pourvu qu'on puisse calculer $f$ en les valeurs qui interviennent dans cette inégalité (en $u$ et $v$).
Que sait-on sur le cas d'égalité?

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)
Re: Sommation par paquets
il y a quatre mois
Oui tu as raison, il y a un moins, de toute façon, $f$ est clairement décroissante, j'ai corrigé !
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