Sommation par paquets
dans Analyse
Bonjour à tous,
Je suis tombé dans la correction d'un exercice sur l'affirmation suivante, balancée sans justification :
$\displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{(-1)^k}{k+1} = \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{2k+1}-\frac{1}{2k+2}$
Je n'ai pas de problème à voir que c'est vrai, mais je me demande comment le justifier ? Ce qui s'en rapproche le plus me semble être le théorème de sommation par paquets, mais la série n'est pas absolument convergente ici...
Merci d'avance !
Je suis tombé dans la correction d'un exercice sur l'affirmation suivante, balancée sans justification :
$\displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{(-1)^k}{k+1} = \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{2k+1}-\frac{1}{2k+2}$
Je n'ai pas de problème à voir que c'est vrai, mais je me demande comment le justifier ? Ce qui s'en rapproche le plus me semble être le théorème de sommation par paquets, mais la série n'est pas absolument convergente ici...
Merci d'avance !
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Réponses
J’ai un doute : Il me semble qu’on peut quand même parler de sommation par paquet si on conserve l’ordre de sommation même si la série n’est pas absolument convergente. Les paquets doivent (C’est plutôt « il suffit ») avoir une taille bornée pour que la somme soit conservée.
Ici, ça ressemble à un changement de variable : le « k » qui change de parité tandis que « 2k+1 » et « 2k+2 » sont de parités distinctes. Essayons avec « k varie de 0 à l’infini » une autre lettre pour y voir clair, du style, « p=2k+1 » ou « p=2k+2 » ...
Je me contredis donc : c’est une sommation par paquet de taille 2.
Cordialement, j__j
Soit $N$ un entier naturel non nul.
On a bien le droit de considérer:
\begin{align}\sum_{k=0}^{2N+1}\frac{(-1)^k}{k+1}&=\sum_{k=0,\text{k pair}}^{2N+1}\frac{(-1)^k}{k+1}+\sum_{k=0,\text{k impair}}^{2N+1}\frac{(-1)^k}{k+1}\\
&=\sum_{k=0}^{N}\frac{(-1)^{2k}}{2k+1}+\sum_{k=0}^{N}\frac{(-1)^{2k+1}}{2k+2}\\
&=\sum_{k=0}^{N}\left(\frac{1}{2k+1}-\frac{1}{2k+2}\right)
\end{align}
Le membre de gauche, est une somme partielle d'une série convergente*, et le membre de droite est une somme partielle d'une série absolument convergente.
On a donc bien:
\begin{align}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k+1}&=\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{1}{2k+1}-\frac{1}{2k+2}\right)\end{align}
*: application du critère d'Abel.
Le problème est simple si on en lit la première phrase du fil : "Je suis tombé dans la correction d'un exercice sur l'affirmation suivante, balancée sans justification : " (c'est moi qui colore en gras)
Nous apportons des éclaircissements, et toi tu apportes et rédiges une preuve, c'est réglé.
Je me méfie de ce que je crois savoir parfois.
Je vous voyais discuter de trucs, a priori, compliqués, je me disais il y a un truc que je n'ai pas du capter.
(comme hier soir avec l'utilisation du critère de d'Alembert: j'étais resté campé sur une idée)
Mon premier message est également tâtonnant...
Je n'avais donc pas compris ta manière de répondre "je ne comprends pas le problème".
D'ailleurs, c'est vrai qu'on ne sait pas à qui on s'adresse. Moi le premier, je ne dis pas souvent "@" etc.
Comme dans ce message, par exemple ;-)
Bonjour,
Peux-tu m’éclaircir ce que tu veux dire dans Les paquets doivent (C’est plutôt « il suffit ») avoir une taille bornée pour que la somme soit conservée. , je crains déceler une contradiction avec ce post http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1661458,1661464#msg-1661464
Soit $f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \big(\frac{1}{n+x} - \frac{1}{n+1}\big)$.
1) Quel est le domainde définition de $f$ ?
2) Pour $x>0$, calculer : $f(x+1) - f(x)$.
FdP, une nouvelle fois tu compliques inutilement :-D Tu as prouvé une égalité entre deux suites, celle de gauche converge comme suite extraite, donc celle de droite aussi (c'est la même suite !) et les limites sont les mêmes, inutile de dire "le membre de droite est une somme partielle d'une série absolument convergente", ça n'a aucun rapport.
1) $R$ ?
Je ne crois pas (enfin, mon premier message de ce présent fil étant alambiqué...).
Si une série converge, alors quelle que soit la taille T, en faisant une sommation par paquets d'au plus T termes (pris dans le même ordre), la nouvelle série converge et a même limite que la première.
Mais la réciproque est fausse.
Dis-je des bêtises ?
Désolé je suis empêtré dans le Latex ...
Il y a des fractions dans la définition de $f$. Le réflexe minimum quand tu vois des fractions est te demander si leur dénominateur n'est pas nul.
[Plutôt "\R \setminus \Z_-" qui donne $\R \setminus \Z_-$, sans devoir ajuster les espacements. ;-) AD]
Tu as corrigé en disant (pris dans le même ordre) "des paquets de p termes consécutifs"
Est tu d'accord que le seul qui a répondu à la question a son juste titre est Dom ( malgré les reproches ); il affirme que le théorème des sommations par paquets s'applique ici avec la suite $v_k$ defnie par $v_1=u_0+u_1$ , ..... $v_k=u_{2k}+u_{2k+1} $
En fait, la « sommation par paquets » signifie bien cela il me semble.
C’est l’associativité généralisée en quelques sortes.
C’est ce qui est dans mon esprit...et bien écrit explicitement, non ?
Cela dit, être précis et clair est important. On a levé un lièvre.
http://essaidiali.co.nf/analyse/famillessommables/famillessommablesdenombresreelsoucomplexes/sommationparpaquets.html
?
J'ai lu ce qu'a écrit John-John: Il considère des trucs comme évidents qu'il ne détaille pas. Ces "évidences" je les ai précisées dans mon message me semble-t-il.
PS:
La question demeure si dans une série qui n'est que convergente (qui pourrait ne pas être absolument convergente) on a le droit de remplacer une infinité de sommes finies de termes consécutifs par leur somme (quand on a utilisé un terme on ne réutilise pas bien évidemment pour faire un autre "paquet") sans changer la nature de la série, sans changer sa "valeur"?
Pas de théorème de sommation par paquets ici.
Cette série converge normalement sur tout compact de $\mathbb{R}$ qui ne contient pas d'entiers.
Bonjour
Tu peux regarder le théorème 1.44 fichier joint
Skyfer exagère en disant Pas de théorème de sommation par paquets ici.
Connais-tu cette version des sommations par paquets qui ne demande pas la convergence absolue ?
Je ne comprends pas pourquoi on calcule pour $x>0$...
3) Montrer que la fonction $f$ est convexe.
4) Trouver, pour $\epsilon>0$ une fonction $f_\epsilon : \R_+^* \to \R$ telle que $\forall x > 0$, on ait : $\frac{1}{\epsilon} \cdot \big[f_\epsilon(x+\epsilon) - f_\epsilon(x)\big] = \frac{1}{x}$, et $f_\epsilon(1) = 0$.
5) A-t-on : $\lim_{\epsilon\to0} f_\epsilon (x) = - \ln(x)$ ?
partout ? uniformément sur tout segment ? uniformément sur tout segment avec ses dérivées ?
et 6), mais j'ai honte
6) étudier sur l'espace le plus intéressant possible l'application $\displaystyle \alpha : g \mapsto \Bigg(x \mapsto \int_{x}^{x+1} g(t) dt\Bigg)$
(bijectivité, réciproque ? Calculer l'image réciproque de $x\mapsto x^n$, de $x \mapsto \int_0^{x} \ln(t) dt$ : antécedents convexes, polynomiaux...)
Sans rancunes:-D
Bonne fin de soirée cher compagnon
Pour moi, on peut parler de "sommation par paquets" ici car on regroupe deux termes consécutifs pour former un nouveau terme général.
1) N'est-ce pas cela l'objet de la "sommation par paquets" ?
Puis, il existe des "théorèmes de sommations par paquets".
J'en ai un qui ne parle pas de séries absolument convergentes.
2) Sur cette question je veux bien faire amende honorable : un théorème le plus usuel possible est peut-être celui qui concerne les familles sommables (ou absolument convergentes).
Là où skyffer a raison c'est que l'on peut se passer d'un théorème (et je crois qu'il veut dire que là on n'applique pas celui qu'il connaît).
3)
Je pose un cliché d'un poly (J. HENRY, Notes de cours, Orsay, 2006) qui n'utilise pas "sommation par paquets" mais "sommation par groupement de termes consécutifs" dont il est vrai que dans mon esprit c'est exactement la même chose.
On peut créer d'autres théorèmes, par exemple, sans supposer que la suite $a$ converge vers $0$ et on change un peu l'assertion (Si la série de $a$ converge, alors...).
Oui, oui j'avais vu cette histoire d'absolue convergence (dans le message original), et j'ai même cru (par prétention, par péché d'orgueil ?) qu'il confondait, voire qu'il faisait une erreur.
Pas de souci, je trouve nos échanges d'une cordialité très digne.
Je pense qu'il y a une erreur. Il faut considérer que $x$ n'est pas un entier. Si $x$ n'est pas un entier, $x+1$ non plus.
Après que tu prennes $x$ quelconque non entier, comme ça à vue je dirais que cela n'a pas d'importance pour cette question me semble-t-il.
Si la question c'est "pourquoi $x>0$ ?" la réponse est "parce que c'est le morceau qui m'intéresse" : voir questions 3,4,5 !
$x>0$ et n'appartenant pas à $\mathbb{Z_{\leq 0}}$
Ok j'ai compris. :-D
(j'avais cru voir un terme en $\dfrac{1}{n-x}$ dans la série d'où mon insistance à parler d'entiers)
Que sait-on sur le cas d'égalité?
$$\mbox{ Discuter la convergence, en fonction de } \alpha>0, \mbox{ de la série de terme général : } \frac{ (-1)^{ \lfloor \sqrt{n} \rfloor }} {n^{\alpha}} .$$
Lorsque les paquets ont une taille uniformément bornée, c'est nettement plus facile!