Sommation par paquets
dans Analyse
Bonjour à tous,
Je suis tombé dans la correction d'un exercice sur l'affirmation suivante, balancée sans justification :
$\displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{(-1)^k}{k+1} = \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{2k+1}-\frac{1}{2k+2}$
Je n'ai pas de problème à voir que c'est vrai, mais je me demande comment le justifier ? Ce qui s'en rapproche le plus me semble être le théorème de sommation par paquets, mais la série n'est pas absolument convergente ici...
Merci d'avance !
Je suis tombé dans la correction d'un exercice sur l'affirmation suivante, balancée sans justification :
$\displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{(-1)^k}{k+1} = \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{2k+1}-\frac{1}{2k+2}$
Je n'ai pas de problème à voir que c'est vrai, mais je me demande comment le justifier ? Ce qui s'en rapproche le plus me semble être le théorème de sommation par paquets, mais la série n'est pas absolument convergente ici...
Merci d'avance !
Réponses
-
En effet ça ne « peut pas » être en l’état une sommation par paquet.
J’ai un doute : Il me semble qu’on peut quand même parler de sommation par paquet si on conserve l’ordre de sommation même si la série n’est pas absolument convergente. Les paquets doivent (C’est plutôt « il suffit ») avoir une taille bornée pour que la somme soit conservée.
Ici, ça ressemble à un changement de variable : le « k » qui change de parité tandis que « 2k+1 » et « 2k+2 » sont de parités distinctes. Essayons avec « k varie de 0 à l’infini » une autre lettre pour y voir clair, du style, « p=2k+1 » ou « p=2k+2 » ...
Je me contredis donc : c’est une sommation par paquet de taille 2. -
Le membre de droite est la limite de la suite $S_{2p+1}$, extraite de la suite convergente $S_n$ (des sommes partielles de la série alternée). C'est pour <<désempaqueter>> que l'on aurait besoin d'hypothèses.
Cordialement, j__j -
Je ne comprends pas le problème.
Soit $N$ un entier naturel non nul.
On a bien le droit de considérer:
\begin{align}\sum_{k=0}^{2N+1}\frac{(-1)^k}{k+1}&=\sum_{k=0,\text{k pair}}^{2N+1}\frac{(-1)^k}{k+1}+\sum_{k=0,\text{k impair}}^{2N+1}\frac{(-1)^k}{k+1}\\
&=\sum_{k=0}^{N}\frac{(-1)^{2k}}{2k+1}+\sum_{k=0}^{N}\frac{(-1)^{2k+1}}{2k+2}\\
&=\sum_{k=0}^{N}\left(\frac{1}{2k+1}-\frac{1}{2k+2}\right)
\end{align}
Le membre de gauche, est une somme partielle d'une série convergente*, et le membre de droite est une somme partielle d'une série absolument convergente.
On a donc bien:
\begin{align}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k+1}&=\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{1}{2k+1}-\frac{1}{2k+2}\right)\end{align}
*: application du critère d'Abel. -
Ça se démontre aussi par interversion série intégraleLe 😄 Farceur
-
@Fin de partie
Le problème est simple si on en lit la première phrase du fil : "Je suis tombé dans la correction d'un exercice sur l'affirmation suivante, balancée sans justification : " (c'est moi qui colore en gras)
Nous apportons des éclaircissements, et toi tu apportes et rédiges une preuve, c'est réglé. -
Dom:
Je me méfie de ce que je crois savoir parfois.
Je vous voyais discuter de trucs, a priori, compliqués, je me disais il y a un truc que je n'ai pas du capter.
(comme hier soir avec l'utilisation du critère de d'Alembert: j'étais resté campé sur une idée) -
Pas de souci !
Mon premier message est également tâtonnant...
Je n'avais donc pas compris ta manière de répondre "je ne comprends pas le problème".
D'ailleurs, c'est vrai qu'on ne sait pas à qui on s'adresse. Moi le premier, je ne dis pas souvent "@" etc.
Comme dans ce message, par exemple ;-) -
@Dom
Bonjour,
Peux-tu m’éclaircir ce que tu veux dire dans Les paquets doivent (C’est plutôt « il suffit ») avoir une taille bornée pour que la somme soit conservée. , je crains déceler une contradiction avec ce post http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1661458,1661464#msg-1661464Le 😄 Farceur -
Exercice :
Soit $f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \big(\frac{1}{n+x} - \frac{1}{n+1}\big)$.
1) Quel est le domainde définition de $f$ ?
2) Pour $x>0$, calculer : $f(x+1) - f(x)$. -
Est-ce que vous avez vu le message de john ? http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1794542,1794552#msg-1794552
FdP, une nouvelle fois tu compliques inutilement :-D Tu as prouvé une égalité entre deux suites, celle de gauche converge comme suite extraite, donc celle de droite aussi (c'est la même suite !) et les limites sont les mêmes, inutile de dire "le membre de droite est une somme partielle d'une série absolument convergente", ça n'a aucun rapport. -
Skyffer: Tu as raison.
-
@gebrane
Je ne crois pas (enfin, mon premier message de ce présent fil étant alambiqué...).
Si une série converge, alors quelle que soit la taille T, en faisant une sommation par paquets d'au plus T termes (pris dans le même ordre), la nouvelle série converge et a même limite que la première.
Mais la réciproque est fausse.
Dis-je des bêtises ? -
Perdu, totem !
-
Allons totem, c'est quoi la définition de $f$ pour $x=0$ par exemple ?
-
je suis tombé dans le panneau :-D $R^+_* privé de Z- $ ?
Désolé je suis empêtré dans le Latex ... -
Totem:
Il y a des fractions dans la définition de $f$. Le réflexe minimum quand tu vois des fractions est te demander si leur dénominateur n'est pas nul. -
$\R\ \backslash\ \Z_-$
$\R\ \backslash\ \Z_-$
[Plutôt "\R \setminus \Z_-" qui donne $\R \setminus \Z_-$, sans devoir ajuster les espacements. ;-) AD] -
Ensuite il faut démontrer que ça converge bien ailleurs, là on a juste éliminé les valeurs où la somme partielle n'est même pas définie.
-
Ce théorème fonctionne pour les séries qui ne convergent pas absolument?
-
Tiens. Dans le premier message je parle bien de conserver l’ordre de sommation.
En fait, la « sommation par paquets » signifie bien cela il me semble.
C’est l’associativité généralisée en quelques sortes.
C’est ce qui est dans mon esprit...et bien écrit explicitement, non ?
Cela dit, être précis et clair est important. On a levé un lièvre. -
Non je ne suis pas d'accord. Le seul qui a répondu de manière directe et simple est john.
-
La sommation par paquets c'est bien ça:
http://essaidiali.co.nf/analyse/famillessommables/famillessommablesdenombresreelsoucomplexes/sommationparpaquets.html
? -
Skyffer:
J'ai lu ce qu'a écrit John-John: Il considère des trucs comme évidents qu'il ne détaille pas. Ces "évidences" je les ai précisées dans mon message me semble-t-il.
PS:
La question demeure si dans une série qui n'est que convergente (qui pourrait ne pas être absolument convergente) on a le droit de remplacer une infinité de sommes finies de termes consécutifs par leur somme (quand on a utilisé un terme on ne réutilise pas bien évidemment pour faire un autre "paquet") sans changer la nature de la série, sans changer sa "valeur"? -
Ton message est parfaitement juste et c'est la même chose. J'ai juste tiqué sur la convergence du membre de droite car tu présentes cela comme une hypothèse à vérifier ce qui n'est pas le cas.
Pas de théorème de sommation par paquets ici. -
Un équivalent du terme général de la série est $\frac{-x}{n^2}$ , ça converge pour tout x d'aprè Riemann non ? enfin quand je dis pour tout x...je pèse mes mots :-D
-
On peut faire mieux qu'étudier la convergence de cette série. La deuxième question calculer $f(x+1)-f(x)$ vaut son pesant de cacahuètes aussi. :-)
Cette série converge normalement sur tout compact de $\mathbb{R}$ qui ne contient pas d'entiers. -
Plutôt équivalent à $(1-x)/n^2$ sauf erreur de part mais sinon c'est bon. Tu as donc démontré que c'est le bon domaine de définition. Il reste la question 2.
-
@FDP
Bonjour
Tu peux regarder le théorème 1.44 fichier joint
Skyfer exagère en disant Pas de théorème de sommation par paquets ici.Le 😄 Farceur -
Le seul théorème qu'on a utilisé est la convergence des suites extraites d'une suite convergente. Donc je ne vois pas où j'exagère ou alors on ne parle pas du même théorème (qui de toute façon ne s'applique qu'aux séries absolument convergentes).
-
2) $\frac{-1}{x}$ ?
Je ne comprends pas pourquoi on calcule pour $x>0$... -
Alors, pour ceux qui sont pas fatigués, voici des questions 3, 4 et 5.
3) Montrer que la fonction $f$ est convexe.
4) Trouver, pour $\epsilon>0$ une fonction $f_\epsilon : \R_+^* \to \R$ telle que $\forall x > 0$, on ait : $\frac{1}{\epsilon} \cdot \big[f_\epsilon(x+\epsilon) - f_\epsilon(x)\big] = \frac{1}{x}$, et $f_\epsilon(1) = 0$.
5) A-t-on : $\lim_{\epsilon\to0} f_\epsilon (x) = - \ln(x)$ ?
partout ? uniformément sur tout segment ? uniformément sur tout segment avec ses dérivées ?
et 6), mais j'ai honte
6) étudier sur l'espace le plus intéressant possible l'application $\displaystyle \alpha : g \mapsto \Bigg(x \mapsto \int_{x}^{x+1} g(t) dt\Bigg)$
(bijectivité, réciproque ? Calculer l'image réciproque de $x\mapsto x^n$, de $x \mapsto \int_0^{x} \ln(t) dt$ : antécedents convexes, polynomiaux...) -
Gebrane, ne je connais pas ce théorème, mais peu importe je ne m'en suis pas servi, on s'est juste servi d'un théorème simplissime vu lors du premier cours d'analyse : la convergence des suites extraites. Difficile de faire plus simple et plus rapide. Dans ton théorème c'est la réciproque qui est dure (enfin on s'entend, ça reste évident et ça prend deux lignes), et on ne l'utilise pas. L'implication si $\sum u_n$ converge alors $\sum v_n$ aussi et les limites sont les mêmes c'est exactement un cas particulier du théorème des suites extraites ...
-
Je ne parle pas de faire simple, le titre de sa question était sommation par paquets et Dom a dit oui le théorème s'applique, c'est tout .
Sans rancunes:-D
Bonne fin de soirée cher compagnonLe 😄 Farceur -
Bon, alors je me dis que cet intitulé "sommation par paquets" a plusieurs acceptions.
Pour moi, on peut parler de "sommation par paquets" ici car on regroupe deux termes consécutifs pour former un nouveau terme général.
1) N'est-ce pas cela l'objet de la "sommation par paquets" ?
Puis, il existe des "théorèmes de sommations par paquets".
J'en ai un qui ne parle pas de séries absolument convergentes.
2) Sur cette question je veux bien faire amende honorable : un théorème le plus usuel possible est peut-être celui qui concerne les familles sommables (ou absolument convergentes).
Là où skyffer a raison c'est que l'on peut se passer d'un théorème (et je crois qu'il veut dire que là on n'applique pas celui qu'il connaît).
3)
Je pose un cliché d'un poly (J. HENRY, Notes de cours, Orsay, 2006) qui n'utilise pas "sommation par paquets" mais "sommation par groupement de termes consécutifs" dont il est vrai que dans mon esprit c'est exactement la même chose.
On peut créer d'autres théorèmes, par exemple, sans supposer que la suite $a$ converge vers $0$ et on change un peu l'assertion (Si la série de $a$ converge, alors...). -
Gebrane, ton théorème ce n'est carrément pas ce qu'on entend par sommation par paquets. D'ailleurs l'auteur du post dit bien que le problème est qu'on n'a pas la convergence absolue, preuve qu'il parlait bien du vrai théorème de sommation par paquets et pas de ton cas "toy" fini ^^ Sans rancune ;-)
-
Oui, je suis en train de me renseigner. Cela m'intrigue.
Oui, oui j'avais vu cette histoire d'absolue convergence (dans le message original), et j'ai même cru (par prétention, par péché d'orgueil ?) qu'il confondait, voire qu'il faisait une erreur.
Pas de souci, je trouve nos échanges d'une cordialité très digne. -
Désolé de vous interrrompre, quelqu'un peut me répondre ?
-
Donne ta démonstration, les maths c'est pas des devinettes :-D
-
Repose ta question, totem !
-
Totem:
Je pense qu'il y a une erreur. Il faut considérer que $x$ n'est pas un entier. Si $x$ n'est pas un entier, $x+1$ non plus.
Après que tu prennes $x$ quelconque non entier, comme ça à vue je dirais que cela n'a pas d'importance pour cette question me semble-t-il. -
Si la question c'est "$f(x+1) = f(x) - \frac{1}{x}$ ?" la réponse est "oui".
Si la question c'est "pourquoi $x>0$ ?" la réponse est "parce que c'est le morceau qui m'intéresse" : voir questions 3,4,5 ! -
Marsup:
$x>0$ et n'appartenant pas à $\mathbb{Z_{\leq 0}}$
Ok j'ai compris. :-D
(j'avais cru voir un terme en $\dfrac{1}{n-x}$ dans la série d'où mon insistance à parler d'entiers) -
Pour une fonction convexe $f$ on sait que si $a+b=1$ alors $f(au+bv)\leq af(u)+bf(v)$ pourvu qu'on puisse calculer $f$ en les valeurs qui interviennent dans cette inégalité (en $u$ et $v$).
Que sait-on sur le cas d'égalité? -
Oui tu as raison, il y a un moins, de toute façon, $f$ est clairement décroissante, j'ai corrigé !
-
Un exercice qui illustre l'utilisation de la sommation par paquet (et les comparaisons séries-intégrales précisées) est le suivant :
$$\mbox{ Discuter la convergence, en fonction de } \alpha>0, \mbox{ de la série de terme général : } \frac{ (-1)^{ \lfloor \sqrt{n} \rfloor }} {n^{\alpha}} .$$
Lorsque les paquets ont une taille uniformément bornée, c'est nettement plus facile!
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.1K Toutes les catégories
- 7 Collège/Lycée
- 21.8K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 52 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 62 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 68 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 312 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 772 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres
In this Discussion
Qui est en ligne 24
+19 Invités