Une majoration

Bien vu gebrane, je n'avais pas trouvé !

Bonsoir,

Je n’ai pas compris ta dernière méthode : qu’apporte l’écriture $7(x^4+x^2)+11(x^2-x)+3$ ?

Au temps pour moi.

J'ai cru comprendre que cela remplaçait l'idée de gebrane et qu'il suffisait d'étudier le trinôme $7X^2+11X+3$...

Il est temps d'aller me coucher.

Et même :

$
\begin{aligned}
7\cdot x^4 + 18\cdot x^2 - 8 \cdot x + 3
& =
7\cdot x^4 + \big(18-\tfrac{16}{3}\big)\cdot x^2
+
\tfrac{16}{3}\cdot x^2 - 8 \cdot x + 3 \\
& =
7\cdot x^4 + \tfrac{38}{3}\cdot x^2
+ \tfrac{1}{3} \cdot \big(4x - 3\big)^2
> 0
\end{aligned}
$

Pas trop d'accord sur la méthode @FdP : On voit immédiatement que $f'' > 0$, donc $f$ convexe.

La fonction admet donc un unique minimum absolu, mais pour le trouver, il faut résoudre une équation cubique...

En tous cas, montrer que l'image du minimum est positive revient à montrer que la fonction l'est tout le temps.

Bonjour,

Quand j'ai passé la bac en 1987, le taux aurait été de 2% : un éléève sur deux classes.

Marsup:

On peut bricoler un peu.

Sauf erreur,

$f(x)=7x^4+18x^2-8x+3$
$f^\prime(x)=28x^3+36x-8$
$f^{\prime\prime}(x)=84x^2+36$

Fait 1) Il est clair que si $x<0$ , $f(x)>0$ le terme $-8x$ est strictement positif et les autres sont (strictement) positifs.
Fait 2) la fonction dérivée est croissante sur $[0;+\infty[$ et $f^\prime\left(\frac{3}{8}\right)=\frac{893}{128}>0$, $f(0)=-8<0$ (lire la suite pour comprendre d'où sort $\frac{3}{8}$ )

Donc, pour tout $x\geq \frac{3}{8}$, $f^\prime(x)>0$ et donc la fonction $f$ est croissante sur $\left[\frac{3}{8};+\infty\right[$
Or, $f\left(\frac{3}{8}\right)=\frac{10935}{4096}>0$ donc pour tout $x\geq \frac{3}{8}$, $f(x)>0$.

Il reste à éclaircir la situation sur l'intervalle $\left[0;\frac{3}{8}\right]$.

Pour tout $x$, réel, $7x^4+18x^2\geq 0$ et donc $f(x)\geq -8x+3$

$-8x+3$ est strictement positif sur $]-\infty,\frac{3}{8}[$ donc pour tout $x\in \left[0;\frac{3}{8}\right[$, $f(x)> 0$.