Une équation différentielle

AlphaNico · April 2019

Bonjour
Je cherche à résoudre sur $\mathbb{R}$ l'équation différentielle suivante : $$
ty{'}-y = 1-e^{t} .

$$ J'ai résolu sur $\mathbb{R}_{+}^{*}$ où j'ai trouvé les fonctions de la forme $$
y(t)=Kt+\left( \int_{1}^{t} \frac{1-e^{u}}{u^{2}} du \right) t
$$ et aussi sur $\mathbb{R}_{-}^{*}$ où j'ai trouvé les fonctions de la forme $$
y(t)=K^{'}t+\left( \int_{-1}^{t} \frac{1-e^{u}}{u^{2}} du \right) t .

$$ En essayant de raccorder, la continuité en $0$ ne donne pas de condition sur $K$ et $K^{'}$ mais par contre, il me semble qu'il soit impossible qu'une solution soit dérivable sur $ \mathbb{R}$ tout entier.
Quelqu'un pourrait-il me dire si j'ai raison ?
Merci par avance et bonne journée,
$\alpha$-Nico

YvesM · April 2019

Bonjour,

Moi je trouve (à vérifier) : $\displaystyle y(t) = c t + e^t-1 - t \int_{t}^{+\infty} {e^{-u} \over u} du, t \in \R, c \in \R$ avec $\displaystyle\lim_{t \to 0} t \int_{t}^{+\infty} {e^{-u} \over u} du = 0.$ Il existe donc une solution définie et continue sur $\R.$
De tête je trouve (à vérifier) $\displaystyle y'(t)=c- \int_{t}^{+\infty} {e^{-u} \over u} du, t \in \R^*, c \in \R$ et effectivement la dérivée n'existe pas en $0$ avec une divergence logarithmique.

gebrane · April 2019

@YvesM
Bonjour
Je n'ai pas saisi le sens de cette phrase Il existe donc une solution définie et continue sur R.

edit pour être plus précis , c'est le sens du mot solution que tu utilises dans ta phrase. Une solution de l'equadiff sur I est par definition une fonction dérivable sur I

jandri · April 2019

Cette équation n'a pas de solution sur $\R$.

Une équation différentielle

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Bonjour!

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