Si si apparemment...montre tes cartes toi aussi :-D
J'ai fait le changement de variable $t= sin(\frac{u}{n})$ mais je me retrouve avec une intégrale dont les 2 bornes font 0 ?? c'est impossible !
Où est mon erreur ?
Après avoir posé $u=nx$ dans $I_n$ on utilise la périodicité de $\cos^2$ pour obtenir $I_n=\displaystyle \int_0^{\pi}\dfrac1{1+\cos^2(t)}\dfrac1n\sum_{k=0}^{n-1}\sin\left(\frac{k\pi+t}n\right)dt$.
On fait ensuite une intégration par parties en introduisant $F(x)=\displaystyle\int_0^x\dfrac1{1+\cos^2(t)} dt$ pour obtenir $I_n=F(\pi)\dfrac1n\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}\sin\left(\frac{(k+1)\pi}n\right)-R_n$.
Par une majoration on montre que $R_n$ tend vers $0$ et on obtient la limite de $I_n$ comme produit de deux intégrales qui se calculent (le résultat est bien $\sqrt2$).
@totem
Tu as posé un problème savoureux et délicieux. J'ai une solution des experts. Pour ne pas gacher le plaisir, je la laisse comme dernier recours. Ton idée marche bien,
$\begin{align} \int_0^\pi \frac{\sin x}{1+\cos^2(nx)} {\rm d}x &= \int_0^{n\pi} \frac{\sin\frac{u}{n}}{1+\cos^2u}\frac{{\rm d}u}{n} = \sum_{k=0}^{n-1} \int_{k\pi}^{(k+1)\pi} \frac{\sin\frac{u}{n}}{1+\cos^2u}\frac{{\rm d}u}{n} = ...... \\
\end{align}$
Question pour totem : tu as une collection d'exercices intégrales/séries et tu en fais un par jour ? Tu n'as pas les solutions ? C'est pour l'école ? pour le plaisir ?
-- je crois que j'ai trouvé ma réponse (le fil est assez marrant !)
Généralisation (qui semble vraie mais je n'ai pas écrit de preuve rigoureuse) :
Si $f:[0,\pi]\to\R$ est continue et si $|\lambda|<1$ alors $\displaystyle\lim_{n\to\infty} \int_0^{\pi} \dfrac{f(x)}{1-\lambda\cos nx}\,dx=\dfrac{\int_0^\pi f(x)\,dx}{\sqrt{1-\lambda^2}}$.
En prenant $f(x)=\frac{2}{3}\sin x$ et $\lambda=-\frac{1}{3}$ on retrouve l'exercice.
ta generalisation
Si $f:[a,b]\to\R$ est continue et si $|\lambda|<1$ alors
$\displaystyle\lim_{n\to\infty} \int_a^{b} \dfrac{f(x)}{1-\lambda\cos
nx}\,dx=\dfrac{\int_a^b f(x)\,dx}{\sqrt{1-\lambda^2}}$
Est ce que ton plan d'attaque est le suivant
1 Pour f=1 , tu démontre $\displaystyle\lim_{n\to\infty} \int_a^{b} \dfrac{1}{1-\lambda\cos
nx}\,dx=\dfrac{b-a}{\sqrt{1-\lambda^2}}$
2 Pour une fonction en escalier f
3 Pour une fonction continue par morceaux f
4 Pour une fonction continue f
Je n'ai pa compris où tu voudrais en arriver marsup. Je suis un peu étourdi cette nuit là marsup. :-)
Si $ x \neq 0 , \pi $, alors, pour $ 0 < x = \dfrac{ \pi}{2} < \pi $, on a : $ u_{n} \big( \dfrac{ \pi}{2} \big) = \cos \big( \dfrac{ \pi n }{2} \big) $ n'a pas de limite ( i.e : diverge ), car, il existe $ 2 $ sous suites $ u_{2n} \big( \dfrac{ \pi }{2} \big) $ et $ u_{2n+1} \big( \dfrac{ \pi }{2} \big) $ tels que : $ \displaystyle \lim_{ n \to + \infty } u_{2n} \big( \dfrac{ \pi }{2} \big) \neq \displaystyle \lim_{ n \to + \infty } u_{2n+1} \big( \dfrac{ \pi }{2} \big) $, non ? Donc, $ \cos ( nx ) $ n'a pas de limite quand $ n $ tend vers $ + \infty $, non ?
@gebrane : ta stratégie a l'air de marcher. Voici une autre idée. On montre plus généralement que si $f:[a,b]\to\R$ est intégrable et $g:\R\to\R$ est continue périodique, alors $\int_a^b f(x)g(tx)\,dx$ tend vers $M_g\int_a^bf(x)\,dx$ lorsque $t$ tend vers l'infini, où $M_g$ est la moyenne de $g$. Pour cela on se ramène à $T=2\pi$, puis par densité au cas où $g$ est un polynôme trigonométrique. La résultat provient alors du lemme de Riemann-Lebesgue.
> Question pour totem : tu as une collection
> d'exercices intégrales/séries et tu en fais un
> par jour ?
ou plus si affinités !
Tu n'as pas les solutions ?
non sinon je ne viendrais pas vous embêter :-D
C'est pour
> l'école ?
non ! passé l'âge
pour le plaisir ?
>
de fait...
Je suppose que vous êtes tous profs en prépa ou en lycée vous autres ? ce serait intéressant de faire un sondage du forum tiens...
[small][small]Ben quoi on n' a pas le droit de faire des maths avec un enfant sur les genoux quand on est homme au foyer ?[/small] [/small]:-D:-D
@gebrane: a-t-on le droit de permuter série et intégrale ? parce que intégrer cette bête là, franchement ...:-S
Une somme de Riemann + une interversion série-intégrale + la "célèbre" primitive $\int
\frac{dx}{1+\cos^2(x)} =
\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \arctan\big(\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \tan(x)\big)$.
Finalement, mes polynômes de Chebyshev ne sont plus si saugrenus, quand on compare.
On factorise le polynôme au dénominateur, de degré $2n$, et coefficient dominant $4^n$.
Sauf erreur, ses racines sont les $
\exp\big(i \frac{(2k+1)\pi}{2n}\big) \cdot
\sqrt[n]{1\pm\sqrt{2}}
$
puis décomposition en éléments simples de la fraction rationnelle, obtention de l'intégrale comme une somme et j'imagine encore une somme de Riemann, j'imagine avec des $\arctan(\dots)$.
Bon les polynômes russes je ne connais que de nom donc je ne m'aventurerai pas sur ce terrain là.
J'ai coupé le sinus en 2 avec $\sin(a)\cos(b)+\sin(b)\cos(a)$, pour isoler $u$ et casser la somme en 2 morceaux, mais après ça je ne pense pas avoir le droit de faire une somme de Riemann...!
Du coup je ne suis pas plus avancé. ll faut des outils un cran au-dessus on dirait bien.
Pour info ça vient d'un livre d'exercices niveau spé MP d'il y a 20 ans.
Ben il faut être sûr que ça converge pour couper les sommes en 2 non ?
De toutes façons j'ai essayé, ça n'arrange pas beaucoup les choses...! j'ai un $\cos(\frac{u}{n})$ qui apparaît, ce n'est pas tellement mieux qu'un
$\sin(\frac{u}{n})$8-) et puis je ne suis pas très à l'aise pour manipuler les équivalents sous le signe intégral.
Mais peut être que ça marche pour qui est plus agile avec les calculs que moi !
$$ Ensuite mais là pas sûr de moi du tout !
\begin{align*}
\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} ( \sin\frac{k\pi }{n}\cos\frac{u}{n}+ \cos\frac{k\pi}{n}\sin\frac{u}{n})&=\frac{1}{n}( \cos\frac{u}{n}\sum_{k=0}^{n-1} \sin\frac{k\pi }{n}+\sin\frac{u}{n}\sum_{k=0}^{n-1} \cos\frac{k\pi }{n}) \\
&= \cos\frac{u}{n}\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} \sin\frac{k\pi }{n}+\sin\frac{u}{n}\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} \cos\frac{k\pi }{n}
\end{align*} Par somme de Riemann, $$
\frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} \sin\frac{k\pi }{n}\quad\text{tend vers}\quad \int_{0}^{1} \sin(\pi*x) dx = \frac{2}{\pi}
$$ La première somme est intéressante et sans doute à exploiter, la deuxième non car ça fait $0$ ce qui n'est jamais très intéressant pour trouver des équivalents !!
La deuxième somme de Riemann étant multipliée par $\sin(u/n)$ qui tend vers $0$ (majoration par $\pi/n$), il suffit de la majorer en valeur absolue par $1$.
On ne cherche pas un équivalent de $I_n$ mais sa limite.
Pour utiliser la limite de la première somme de Riemann on peut écrire $\cos(u/n)=1+(\cos(u/n)-1)$ et majorer $|\cos(u/n)-1|$ par $\dfrac{\pi^2}{2n^2}$
Je ne sais plus qui disait sur ce forum que les sommes de Riemann étaient uniquement bonnes à faire des exercices de calcul pour les taupins, cet exercice est un magnifique contre-exemple !
Même s'il y a d'autres méthodes de résolution possibles..
Non en fait pour la limite de $||f_n-f||_\infty$ j'hésite quant au choix de $f$ et de $f_n$...je peux prendre $f=\frac{2}{\pi}$ ? mais pour $f_n$ ça va être la somme des sinus, ce qui ne va pas être simple...?
@gebrane : CU de quoi vers quoi stp ? J'ai essayé d'utiliser les majorations de jandri mais ça ne fait pas tendre vers 0...
@totem
J'attends toujours comment tu vas chercher (en utilisant les complexes et non pas les sommes de Riemann) $$\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} \sin\frac{k\pi + u}{n}$$
Comment ça tu attends ?? Tu te prends pour mon prof de spé ? :-S
Oui c'est fait, à l'oral : factorisation par $\exp(iu/n)$ somme des $n$ premiers termes d'une suite géométrique (racines $n$-èmes de l'unité non ?), forme algébrique, extirpation de la partie imaginaire, passage à la limite et DL de cos et sin ... bilan $2/\pi$
Je suis content je n'ai pas trop mal progressé dans les calculs, mais ce qui me pose le plus de problèmes c'est les justifications de rigueur et les théorèmes ad hoc : interversion série/intégrale /limite/ dérivée, convergence uniforme...
C'est ça quand on vient de la physique :-D
@AD et aux modérateurs : il y a une partie du forum où l'on peut raconter sa trajectoire personnelle, ses choix professionnels heureux ou non , bref raconter un peu sa vie en lien avec les maths ?
Réponses
J'ai fait le changement de variable $t= sin(\frac{u}{n})$ mais je me retrouve avec une intégrale dont les 2 bornes font 0 ?? c'est impossible !
Où est mon erreur ?
Les autres faites vos jeux avant que rien ne va plus :-D
@marsup: aucune idée !
On fait ensuite une intégration par parties en introduisant $F(x)=\displaystyle\int_0^x\dfrac1{1+\cos^2(t)} dt$ pour obtenir $I_n=F(\pi)\dfrac1n\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}\sin\left(\frac{(k+1)\pi}n\right)-R_n$.
Par une majoration on montre que $R_n$ tend vers $0$ et on obtient la limite de $I_n$ comme produit de deux intégrales qui se calculent (le résultat est bien $\sqrt2$).
Tu as posé un problème savoureux et délicieux. J'ai une solution des experts. Pour ne pas gacher le plaisir, je la laisse comme dernier recours. Ton idée marche bien,
$\begin{align} \int_0^\pi \frac{\sin x}{1+\cos^2(nx)} {\rm d}x &= \int_0^{n\pi} \frac{\sin\frac{u}{n}}{1+\cos^2u}\frac{{\rm d}u}{n} = \sum_{k=0}^{n-1} \int_{k\pi}^{(k+1)\pi} \frac{\sin\frac{u}{n}}{1+\cos^2u}\frac{{\rm d}u}{n} = ...... \\
\end{align}$
Question pour totem : tu as une collection d'exercices intégrales/séries et tu en fais un par jour ? Tu n'as pas les solutions ? C'est pour l'école ? pour le plaisir ?
-- je crois que j'ai trouvé ma réponse (le fil est assez marrant !)
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1054419,1055679#msg-1055679
Si $f:[0,\pi]\to\R$ est continue et si $|\lambda|<1$ alors $\displaystyle\lim_{n\to\infty} \int_0^{\pi} \dfrac{f(x)}{1-\lambda\cos nx}\,dx=\dfrac{\int_0^\pi f(x)\,dx}{\sqrt{1-\lambda^2}}$.
En prenant $f(x)=\frac{2}{3}\sin x$ et $\lambda=-\frac{1}{3}$ on retrouve l'exercice.
Pour calculer : $ \displaystyle \lim_{ n \to + \infty } I_n $, on applique le théorème de convergence dominée. Voir ici : https://fr.wikipedia.org/wiki/Théorème_de_convergence_dominée
Bonsoir,
ta generalisation
Si $f:[a,b]\to\R$ est continue et si $|\lambda|<1$ alors
$\displaystyle\lim_{n\to\infty} \int_a^{b} \dfrac{f(x)}{1-\lambda\cos
nx}\,dx=\dfrac{\int_a^b f(x)\,dx}{\sqrt{1-\lambda^2}}$
Est ce que ton plan d'attaque est le suivant
1 Pour f=1 , tu démontre $\displaystyle\lim_{n\to\infty} \int_a^{b} \dfrac{1}{1-\lambda\cos
nx}\,dx=\dfrac{b-a}{\sqrt{1-\lambda^2}}$
2 Pour une fonction en escalier f
3 Pour une fonction continue par morceaux f
4 Pour une fonction continue f
J-L = Jeans lismonde
Si $ x \neq 0 , \pi $, alors, pour $ 0 < x = \dfrac{ \pi}{2} < \pi $, on a : $ u_{n} \big( \dfrac{ \pi}{2} \big) = \cos \big( \dfrac{ \pi n }{2} \big) $ n'a pas de limite ( i.e : diverge ), car, il existe $ 2 $ sous suites $ u_{2n} \big( \dfrac{ \pi }{2} \big) $ et $ u_{2n+1} \big( \dfrac{ \pi }{2} \big) $ tels que : $ \displaystyle \lim_{ n \to + \infty } u_{2n} \big( \dfrac{ \pi }{2} \big) \neq \displaystyle \lim_{ n \to + \infty } u_{2n+1} \big( \dfrac{ \pi }{2} \big) $, non ? Donc, $ \cos ( nx ) $ n'a pas de limite quand $ n $ tend vers $ + \infty $, non ?
> Question pour totem : tu as une collection
> d'exercices intégrales/séries et tu en fais un
> par jour ?
ou plus si affinités !
Tu n'as pas les solutions ?
non sinon je ne viendrais pas vous embêter :-D
C'est pour
> l'école ?
non ! passé l'âge
pour le plaisir ?
>
de fait...
Je suppose que vous êtes tous profs en prépa ou en lycée vous autres ? ce serait intéressant de faire un sondage du forum tiens...
[small][small]Ben quoi on n' a pas le droit de faire des maths avec un enfant sur les genoux quand on est homme au foyer ?[/small] [/small]:-D:-D
@gebrane: a-t-on le droit de permuter série et intégrale ? parce que intégrer cette bête là, franchement ...:-S
@JLT: il ne manque pas un carré au cosinus ?
$\begin{align} \int_0^\pi \frac{\sin x}{1+\cos^2(nx)} {\rm d}x &= \int_0^{n\pi} \frac{\sin\frac{u}{n}}{1+\cos^2u}\frac{{\rm d}u}{n} = \sum_{k=0}^{n-1} \int_{k\pi}^{(k+1)\pi} \frac{\sin\frac{u}{n}}{1+\cos^2u}\frac{{\rm d}u}{n} = \\
&= \sum_{k=0}^{n-1} \int_{0}^{\pi} \frac{\sin\frac{k\pi + u}{n}}{1+\cos^2(k\pi+u)}\frac{{\rm d}u}{n} = \\
&= \sum_{k=0}^{n-1} \int_{0}^{\pi} \frac{\sin\frac{k\pi + u}{n}}{1+\cos^2u}\frac{{\rm d}u}{n} = \\
&= \int_{0}^{\pi} \frac{1}{1+\cos^2u} \left(\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} \sin\frac{k\pi + u}{n} \right){\rm d}u \end{align}$
Apres tu feras quoi? ( je rappelle que la solution n'est pas mienne)
La dernière ligne, je sèche un peu en effet, je regarde pour une somme de Riemann...
Une somme de Riemann + une interversion série-intégrale + la "célèbre" primitive $\int
\frac{dx}{1+\cos^2(x)} =
\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \arctan\big(\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \tan(x)\big)$.
Finalement, mes polynômes de Chebyshev ne sont plus si saugrenus, quand on compare.
Mon idée était la suivante :
$
\begin{aligned}
I_n & = \int_{0}^{\pi} \frac{\sin(x)}{1+\cos^2(nx)} dx \\
& = \int_{0}^{\pi} \frac{\sin(x)}{1+{T_n}^2(\cos(x))} dx \\
& = \int_{-1}^{1} \frac{dt}{1+{T_n}^2(t)} \\
\end{aligned}
$
On factorise le polynôme au dénominateur, de degré $2n$, et coefficient dominant $4^n$.
Sauf erreur, ses racines sont les $
\exp\big(i \frac{(2k+1)\pi}{2n}\big) \cdot
\sqrt[n]{1\pm\sqrt{2}}
$
puis décomposition en éléments simples de la fraction rationnelle, obtention de l'intégrale comme une somme et j'imagine encore une somme de Riemann, j'imagine avec des $\arctan(\dots)$.
Bon les polynômes russes je ne connais que de nom donc je ne m'aventurerai pas sur ce terrain là.
J'ai coupé le sinus en 2 avec $\sin(a)\cos(b)+\sin(b)\cos(a)$, pour isoler $u$ et casser la somme en 2 morceaux, mais après ça je ne pense pas avoir le droit de faire une somme de Riemann...!
Du coup je ne suis pas plus avancé. ll faut des outils un cran au-dessus on dirait bien.
Pour info ça vient d'un livre d'exercices niveau spé MP d'il y a 20 ans.
De toutes façons j'ai essayé, ça n'arrange pas beaucoup les choses...! j'ai un $\cos(\frac{u}{n})$ qui apparaît, ce n'est pas tellement mieux qu'un
$\sin(\frac{u}{n})$8-) et puis je ne suis pas très à l'aise pour manipuler les équivalents sous le signe intégral.
Mais peut être que ça marche pour qui est plus agile avec les calculs que moi !
Pour se ramener à une somme de Riemann il faut se débarrasser des termes avec $\sin(u/n)$ et $\cos(u/n)-1$.
Pour cela on peut utiliser les majorations $|\sin(u/n)|\leq \dfrac{\pi}n$ et $|\cos(u/n)-1|\leq\dfrac{\pi^2}{2n^2}$ pour $u\in[0,\pi]$.
$$ Ensuite mais là pas sûr de moi du tout !
\begin{align*}
\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} ( \sin\frac{k\pi }{n}\cos\frac{u}{n}+ \cos\frac{k\pi}{n}\sin\frac{u}{n})&=\frac{1}{n}( \cos\frac{u}{n}\sum_{k=0}^{n-1} \sin\frac{k\pi }{n}+\sin\frac{u}{n}\sum_{k=0}^{n-1} \cos\frac{k\pi }{n}) \\
&= \cos\frac{u}{n}\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} \sin\frac{k\pi }{n}+\sin\frac{u}{n}\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} \cos\frac{k\pi }{n}
\end{align*} Par somme de Riemann, $$
\frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} \sin\frac{k\pi }{n}\quad\text{tend vers}\quad \int_{0}^{1} \sin(\pi*x) dx = \frac{2}{\pi}
$$ et $$
\frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} \cos\frac{k\pi }{n}\quad\text{tend vers}\quad\int_{0}^{1} \cos(\pi*x) dx = 0.
$$ La première somme est intéressante et sans doute à exploiter, la deuxième non car ça fait $0$ ce qui n'est jamais très intéressant pour trouver des équivalents !!
On ne cherche pas un équivalent de $I_n$ mais sa limite.
Pour utiliser la limite de la première somme de Riemann on peut écrire $\cos(u/n)=1+(\cos(u/n)-1)$ et majorer $|\cos(u/n)-1|$ par $\dfrac{\pi^2}{2n^2}$
Donc tout le bazar tend vers $$\frac{2}{\pi} +0 = \frac{2}{\pi}.
$$ Du coup l'intégrale tend vers : $$\frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} \frac{1}{1+\cos^2u}du=\frac{2}{\pi} \frac{\pi}{\sqrt{2}}= {\sqrt{2}} .
$$ Un petit scrupule : pour l'intégrale, $\mathrm{Arctan}\big(\tan (\pi)\big)= 0$ ou $\pi$ ?
Bingo !! Merci à vous tous (:D (tu)
Je ne sais plus qui disait sur ce forum que les sommes de Riemann étaient uniquement bonnes à faire des exercices de calcul pour les taupins, cet exercice est un magnifique contre-exemple !
Même s'il y a d'autres méthodes de résolution possibles..
Tu peux contourner les sommes de Riemann pour calculer $\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} \sin\frac{k\pi + u}{n}$
voici un début $\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} \sin\frac{k\pi + u}{n} = \frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} \Im\left(\exp\left({\rm i}\frac{k\pi+u}{n}\right)\right) $
Je vais regarder ça...
@gebrane : CU de quoi vers quoi stp ? J'ai essayé d'utiliser les majorations de jandri mais ça ne fait pas tendre vers 0...
Mais en fait je ne sais pas faire tendre $||f_n-f||_\infty$ vers 0 ...
@gebrane "sparrow": peux-tu donner ta solution experte par curiosité ?
Si c'est à base de TF et de distributions...laisse tomber 8-)
Donne une autre pour cette nuit
J'attends toujours comment tu vas chercher (en utilisant les complexes et non pas les sommes de Riemann) $$\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} \sin\frac{k\pi + u}{n}$$
Oui c'est fait, à l'oral : factorisation par $\exp(iu/n)$ somme des $n$ premiers termes d'une suite géométrique (racines $n$-èmes de l'unité non ?), forme algébrique, extirpation de la partie imaginaire, passage à la limite et DL de cos et sin ... bilan $2/\pi$
Satisfait ? :-)
C'est ça quand on vient de la physique :-D
@AD et aux modérateurs : il y a une partie du forum où l'on peut raconter sa trajectoire personnelle, ses choix professionnels heureux ou non , bref raconter un peu sa vie en lien avec les maths ?