Équivalent intégrale

supp

Je reviens sur la généralisation proposée par JLT:
si $f:[a,b]\to\R$ est intégrable et $g:\R\to\R$ est continue périodique, alors $\int_a^bf(x)g(tx)dx$ tend vers $M_g\int_a^bf$ lorsque $t$ tend vers l'infini, où $M_g$ est la moyenne de $g$.

Puisque $f$ est intégrable on peut se ramener au cas où $[a,b]$ est un segment.
Il y a alors une démonstration élémentaire très courte si on suppose de plus que $f$ est de classe $C^1$ (cas de l'exercice proposé dans ce fil).

Soit $h$ une primitive de $g-M_g$ : $h$ a la même période que $g$ puisque $\int_x^{x+T}g=\int_0^Tg=TM_g$. Elle est donc bornée (par un $M$).
Il suffit de faire une intégration par parties:
$\displaystyle\int_a^b f(x)g(xt)dx-M_g\int_a^bf(x)dx=\int_a^b f(x)h'(xt)dx=\dfrac1t\left([f(x)h(xt)]_a^b-\int_a^bf'(x)h(xt)dx\right)$

d'où $|\int_a^b f(x)g(xt)dx-M_g|\leq\dfrac Mt(|f(a)|+|f(b)|+\int_a^b|f'|)$ qui tend bien vers $0$ quand $t$ tend vers l'infini.

C'est la démonstration du lemme de Riemann-Lebesgue quand $f$ est de classe $C^1$.

Bonjour jean lismonde

Je ne suis pas d'accord.
Tout d'abord si $x$ est un multiple entier de $\pi$ alors la suite $u_n=\cos^2(nx)$ est constante et a pour limite $1$.

Ensuite, si $x$ n'est pas un multiple entier de $\pi$ on écrit $u_n=\dfrac12(1+\cos(2nx))$ et la suite "converge" au sens de Césaro vers $\dfrac12$ et pas vers $0$.

Enfin je n'ai pas tout compris à tes notions de convergence (généralisée).
Je comprends la (pseudo-)convergence bornée: par exemple la suite $(-1)^n$ a comme limite généralisée $0$ et elle est bornée.
Je comprends la (pseudo-)convergence explosive: par exemple la suite $(-1)^n\sqrt n$ a comme limite généralisée $0$ et elle n'est pas bornée.
Mais je ne comprends pas la (pseudo-)convergence implosive dont tu as eu l'occasion de parler sur ce forum.