Série de fonctions C°°

Bonjour.
Je veux montrer qu'une série de fonctions $(f_{n})$ de $\mathcal{C}^{\infty}([a,b],\mathbb{E})$, où $\mathbb{E}$ est un Banach, est $\mathcal{C}^{\infty}$.
Sachant que pour tout $k\in \mathbb{N}$ la série de terme $(f^{(k)}_{n})$ Converge uniformément sur $[a,b]$.

Y a-t-il un théorème qui permet de montrer que la série $\sum f_{n}$ est continûment dérivable sur $[a,b]$, comme le théorème de Leibniz pour la dérivation sous le signe intégrale des fonctions $\mathcal{C}^k$ ?

Sinon faut le prouver par récurrence.
Merci.