Divertissement avec des limites

gebrane
gebrane
dans Analyse
Calculer lorsque c'est possible les limites suivantes
1- $\lim_{x\to +\infty }e ^ {-\sin{x}}\quad facile$
2- $\lim_{x\to +\infty } e ^x |\sin{x}|$
3- $\lim_{n\to +\infty} |n^t\sin n|$

edit ; la 3 est réservée pour les pro, extrêmement difficile}
Le 😄 Farceur


Réponses

  • math2
    math2
    Sauf erreur, 1 et 2 se font à vue (pas de limite). Quant à 3 tout dépend du signe de la partie réelle de $t$ et lorsqu'elle est strictement positive il va falloir sortir son crayon pour regarder (sinon évident aussi).
  • gebrane
    gebrane
    @math2
    Les 3 évidentes! tu te trompes
    Le 😄 Farceur


  • ev
    ev
    La 3/ est ultra-difficile.

    Comme elle n'est pas quantifiée, il faut deviner qui est le nombre $t$ que le pirate Gebrane a écrit sur un bout de parchemin et cousu à l'intérieur de son chapeau.

    Je ne joue pas.

    Ma nature douillette craint trop les coups de sabre subreptices.

    amicalement,

    e.v.
    Personne n'a raison contre un enfant qui pleure.


  • math2
    math2
    Je ne suis mal exprimé visiblement. Pour 1 et 2 on trouve plusieurs valeurs d adhérence. Pour 3 il ne reste que la partie réelle de $t$. Si elle est strictement négative on domine par quelque chose qui tend vers $0$, si elle est nulle on tombe sur une suite qui n a pas de limite du tout. Il ne reste que le cas 3 où la partie réelle est strictement positive et celle là effectivement sans prendre de crayon elle me paraît difficile. Je me trompe en disant que c est le seul cas difficile ?
  • Poirot
    Poirot
    En effet c'est assez difficile. Clairement la limsup est $+\infty$, puisqu'il est bien connu que $\sin(\mathbb Z)$ est dense dans $[-1, 1]$. Pour la liminf c'est plus délicat.

    Je rappelle la définition de la mesure d'irrationnalité de $\pi$ : c'est la borne supérieure $\mu$ des réels $\lambda \geq 2$ tels qu'il existe une infinité de rationnels $\frac{p}{q}$ tels que $$\left|\pi - \frac{p}{q}\right| < \frac{1}{q^{\lambda}}.$$ Puisque $\pi$ est irrationnel, un célèbre théorème de Dirichlet dit que $\mu \geq 2$ car on peut trouver une infinité de rationnels $\frac{p}{q}$ tels que $\left|\pi - \frac{p}{q}\right| < \frac{1}{q^2}$. La meilleure majoration connue à ce jour est $7,6063$.

    Revenons à nos moutons. Je considère $t$ réel strictement positif. Pour $\lambda \geq 2$, si $\left|\pi - \frac{p}{q}\right| < \frac{1}{q^{\lambda}}$ alors $$|\sin(p)| = |\sin(p-\pi q)| < \frac{1}{q^{\lambda}}$$ tandis que $$p < q \pi + \frac{1}{q^{\lambda -1}}$$ et donc $$0 \leq p^t|\sin(p)|<\frac{\left(q\pi + \frac{1}{q^{\lambda -1}}\right)^t}{q^{\lambda}}.$$ Ainsi, s'il existe une infinité de rationnels $\frac{p}{q}$ vérifiant $\left|\pi - \frac{p}{q}\right| < \frac{1}{q^{\lambda}}$ où $\lambda \geq t$ alors la suite $(n^t |\sin(n)|)_n$ admet une sous-suite bornée, ce qui prouve, avec la remarque du début, qu'elle n'admet pas de limite.

    Ça répond à la question, au moins quand $0 < t < \mu$ (et même si $\mu=2$, on peut prendre $t=2$).
  • Corto
    Corto
    Tiens, c'est marrant je pensais qu'il était connu que la mesure d'irrationalité de $\pi$ était $2$. En tout cas c'est exactement $2$ pour presque tout réel.
  • math2
    math2
    Oui c'est cela, je cherchais la meilleure approximation de $\pi$, mais j'avais oublié le th de Dirichlet ...
  • Poirot
    Poirot
    @Corto : non pour $\pi$ c'est un problème ouvert. Par contre pour $e$ on sait que c'est $2$. La différence entre les deux c'est que $e$ a un développement en fractions continuées très simple, tandis que celui de $\pi$ ne présente pas de régularité. En l'absence de ça, la méthode utilisée pour majorer l'exposant d’irrationalité de $\pi$ est, paradoxalement, de trouver de bonnes approximations de $\pi$, qui "repoussent" les autres approximations.
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