Valeur moyenne d'une fonction

Ratwez · April 2019

Bonjour à tous,

Est-il possible démontrer que la valeur moyenne d'une fonction est égale à : $$

m = \frac{\int_a^b f(x) dx}{b-a}.$$

Chalk · April 2019

Quelle est ta définition de valeur moyenne d'une fonction ?

Ratwez · April 2019

La même que pour la moyenne classique. Pour une fonction continue sur un intervalle $[a;b]$ la valeur moyenne de la fonction est : $$

m = \lim_{n \rightarrow + \infty} \frac{f(x_0) + f(x_1) + \cdots + f(x_n)}{n+1},

$$ avec $x_k = k \times \dfrac{b-a}{n} + a$ pour $k \in \mathbb{N}$ et $k \le n$.

Poirot · April 2019

Bah avec cette définition de valeur moyenne, c'est juste une limite de somme de Riemann.

gebrane · April 2019

Pour répondre à ta question quelle sont tes hypothèses sur f ?

gerard0 · April 2019

Quelle est la valeur moyenne de la fonction $1_{Q}$ sur [0,1] ? Ta définition semble-t-elle raisonnable ?

Cordialement.

Ratwez · April 2019

Qu'est que la fonction $1_Q$ ? Est-ce que c'est la fonction constante $f(x) = 1$ ?

gerard0 · April 2019

C'est la fonction f telle que f(x)=1 si x est rationnel, 0 si x est irrationnel. Pour un réel pris au hasard sur [0;1], la probabilité qu'elle vaille 1 est nulle (il y a infiniment plus d'irrationnels que de rationnels).

Bien sûr, elle n'est pas continue, et même nulle part continue. Pour les fonctions continues, Poirot a donné la méthode.

Cordialement.

gebrane · April 2019

J'ajoute que la continuité n'est pas nécessaire pour la convergence des sommes de Riemann. Je répète quelles sont tes hypothèses sur f ?

Ratwez · April 2019

Je ne vois pas vraiment d'autres hypothèse que la continuité que je pensais nécessaire. Sinon $f$ est définie sur l'ensemble de réels mais je ne vois pas grand chose d'autre.

gebrane · April 2019

Dans ce cas Poirot a repondu à ta question

Valeur moyenne d'une fonction

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