Intégrale de reuns
Bonjour
Dans l'une de ces interventions, reuns affirme que $y\mapsto \dfrac{\sin(e^{y^2})}{(1+|y|^{1/4})}~\notin L^2(\mathbb{R})$
Mais wolfram dit le contraire. C'est une intégrale très trompeuse.
Je partage son mystère avec vous.
Vous pouvez aussi suivre la question sur MSE
Si quelqu'un a une preuve, je serais très reconnaissant s'il la partage.
Dans l'une de ces interventions, reuns affirme que $y\mapsto \dfrac{\sin(e^{y^2})}{(1+|y|^{1/4})}~\notin L^2(\mathbb{R})$
Mais wolfram dit le contraire. C'est une intégrale très trompeuse.
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Le 😄 Farceur
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Réponses
Je ne vois pas bien ce qu'apporte le changement de variable $y=x^2$ mais peut-être que quelque chose m'échappe (l'intégrale est semi-convergente)
Edit:J 'ai dit une sottise, en mettant aussi le $1/\sqrt{u}$ dans le carre, merci Corto.
Avec le changement de variables $x=y^2$ je trouve (sur $\R_+$) :
\[
\int_{\R_+} \frac{\sin(e^x)^2}{2\sqrt x (1+x^{1/8})^2} dx
\]
et comme $\sqrt x (1+x^{1/8})^2\sim x^{3/4}$ je ne vois pas de raison que cette intégrale converge. Est-ce que je ne sais plus faire de changement de variables ?
Soit $k$ un entier naturel et $A_k$ l'ensemble des points de $[k;k+1[$ où la fonction $y\mapsto \sin(e^{y^2})^2$ est supérieure à $1/2$. La mesure de $A_k$ converge vers $1/2$ lorsque $k\to \infty$ et comme $1/(1+|y|^{1/4})^2$ n'est pas intégrable la fonction de gébrane n'est pas dans $L^2(\R) $, non ?
> int(sin(exp(y^2))^2/(1+y^(1/4))^2,y=0..infinity); infinityJe me suis fait la même réflexion. Mais l'intégrale est semi-convergente je me suis dit qu'il y avait peut-être un critère que je ne connais pas (ou que j'ai oublié) qui permet de conclure.
Tu fais confusion, on s’intéresse à l’intégrale
$$\int_{0}^{+\infty} \frac{(sin²(e^{y^2}))}{(1+|y|^{\frac 1{4}})^2}\, dy$$
L'intégrande est positive ( convergence $\iff$ convergence absolue)
edit erreur de frappe
Ok. Donc je me demande en quoi le changement de variable $y=x^2$ permet de conclure ici.
Si tu pouvais développer merci par avance.
Montrez vos cartes
@P Tu es notre seule chance sinon tremblement et séisme au Forum d'analyse
edit @corto
J'ai bien lu ton message, je réfléchis à ton argument
edit j'ai mis ton argument sur MSE
P. a corrigé
On doit pouvoir minorer par une série qui diverge.
edit le doute règne aussi sur MSE
Fin de l'histoire
\[
\int_1^\infty \frac{\sin(t)}{\sqrt t} dt
\]
est semi convergente mais que
\[
\int_1^\infty \frac{\sin(t)}{\sqrt t +\sin(t)} dt
\]
ne l'est pas.
Pour $\int_1^\infty \frac{\sin(t)}{\sqrt t} dt$
*Une ipp montre que c'est une intégrale semi-convergente
*Elle n'est pas absolument convergente par l'agument classique
$\begin{align*}
&\int_{\pi}^{\infty}\bigg|\frac{\sin(x)}{\sqrt x}\bigg|dx\\
&=\sum_{n=1}^\infty\int_{n\pi}^{n\pi+\pi}\bigg|\frac{\sin( x)}{\sqrt x}\bigg|dx\\
&=\sum_{n=1}^\infty\int_0^{\pi}\bigg|\frac{\sin( n\pi+u)}{\sqrt {n\pi+u}}\bigg|du\\
&=\sum_{n=1}^\infty\int_0^{\pi}\bigg|\frac{\sin( u)}{\sqrt {n\pi+u}}\bigg|du\\
&\geq \sum_{n=1}^\infty\int_0^{\frac \pi 2}\frac{\sin(u)}{\sqrt {n\pi+u}}du\\
&\geq \sum_{n=1}^\infty\int_0^{\frac \pi 2}\frac{2u}{\pi \sqrt {n\pi+u}}du\\
&\geq ...
\end{align*}$ Pour la deuxième, pas encore regardé.
Est-tu d'accord que la deuxième peut se traiter avec l'idée de mon dernier post ?
On peut, par un développement limité, écrire
\[
\frac{\sin(t)}{\sqrt t + \sin (t) } = \frac{\sin(t)}{\sqrt t} \left(1 - \frac{\sin(t)}{\sqrt t} + \mathcal{O}(t^{-1}) \right)= \frac{\sin(t)}{\sqrt t} + \frac{\cos(t)^2}{t} -\frac{1}{t} + \mathcal O (t^{-3/2})
\]
On obtiens donc la somme d'une intégrale convergente (le grand O), de deux intégrales semi convergentes et d'une intégrale divergente (le $-1/t$). L'intégrale est donc divergente.
Ça fait longtemps que je ne travaille plus avec ces bestioles : Un savoir qu'on ne pratique plus est un savoir qui meurt