Intégrale de reuns
Bonjour
Dans l'une de ces interventions, reuns affirme que $y\mapsto \dfrac{\sin(e^{y^2})}{(1+|y|^{1/4})}~\notin L^2(\mathbb{R})$
Mais wolfram dit le contraire. C'est une intégrale très trompeuse.
Je partage son mystère avec vous.
Vous pouvez aussi suivre la question sur MSE
Si quelqu'un a une preuve, je serais très reconnaissant s'il la partage.
Dans l'une de ces interventions, reuns affirme que $y\mapsto \dfrac{\sin(e^{y^2})}{(1+|y|^{1/4})}~\notin L^2(\mathbb{R})$
Mais wolfram dit le contraire. C'est une intégrale très trompeuse.
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Si quelqu'un a une preuve, je serais très reconnaissant s'il la partage.
Le 😄 Farceur
Réponses
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Changement de variable $x=y^2$
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L'utilisation de $L^2\left(\mathbb{R}\right)$ est de l'abus. L'intégrale proposée ne converge pas absolument si je vois bien.
Je ne vois pas bien ce qu'apporte le changement de variable $y=x^2$ mais peut-être que quelque chose m'échappe (l'intégrale est semi-convergente) -
On peut très bien y avoir des intégrales non convergentes mais qui sont dans $L^2$.
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Le changement de variable $u=y^2$ montre que $ \sin (e^{y^2})/(1+|y|^a)$ est dans $L^2$ si $a>0.$
Edit:J 'ai dit une sottise, en mettant aussi le $1/\sqrt{u}$ dans le carre, merci Corto. -
Hmmm ?
Avec le changement de variables $x=y^2$ je trouve (sur $\R_+$) :
\[
\int_{\R_+} \frac{\sin(e^x)^2}{2\sqrt x (1+x^{1/8})^2} dx
\]
et comme $\sqrt x (1+x^{1/8})^2\sim x^{3/4}$ je ne vois pas de raison que cette intégrale converge. Est-ce que je ne sais plus faire de changement de variables ?
Soit $k$ un entier naturel et $A_k$ l'ensemble des points de $[k;k+1[$ où la fonction $y\mapsto \sin(e^{y^2})^2$ est supérieure à $1/2$. La mesure de $A_k$ converge vers $1/2$ lorsque $k\to \infty$ et comme $1/(1+|y|^{1/4})^2$ n'est pas intégrable la fonction de gébrane n'est pas dans $L^2(\R) $, non ? -
Demandons à maple (pour la première intégrale de ce fil) :
> int(sin(exp(y^2))^2/(1+y^(1/4))^2,y=0..infinity); infinity
-
Corto:
Je me suis fait la même réflexion. Mais l'intégrale est semi-convergente je me suis dit qu'il y avait peut-être un critère que je ne connais pas (ou que j'ai oublié) qui permet de conclure. -
j'insiste changement de variable$ x=y^2$
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Gebrane:
Ok. Donc je me demande en quoi le changement de variable $y=x^2$ permet de conclure ici. -
Said Fubini:
Si tu pouvais développer merci par avance. -
vous avez raison : erreur de débutant , j'applique le changement de variable et puis j'élève au carré X:-(
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je pense que P. s'est piégé comme moi !
P. a corrigé -
M'étonnerait que cette intégrale converge.
On doit pouvoir minorer par une série qui diverge. -
Ok reste à valider ou non l'argument de corto
edit le doute règne aussi sur MSELe 😄 Farceur -
Si l'on fait le changement de variable $u=e^{y^2}$ l'argument de la minoration par une série divergente devient plus facile à écrire. C'est globalement le même argument que celui de mon premier message mais nettement plus simple à écrire comme ça puisqu'on a juste un $\sin(x)^2$ divisé par une fonction croissante.
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Merci corto
Fin de l'histoireLe 😄 Farceur -
Un épilogue pour ceux que ça amuse, montrer que
\[
\int_1^\infty \frac{\sin(t)}{\sqrt t} dt
\]
est semi convergente mais que
\[
\int_1^\infty \frac{\sin(t)}{\sqrt t +\sin(t)} dt
\]
ne l'est pas. -
@corto
Pour $\int_1^\infty \frac{\sin(t)}{\sqrt t} dt$
*Une ipp montre que c'est une intégrale semi-convergente
*Elle n'est pas absolument convergente par l'agument classique
$\begin{align*}
&\int_{\pi}^{\infty}\bigg|\frac{\sin(x)}{\sqrt x}\bigg|dx\\
&=\sum_{n=1}^\infty\int_{n\pi}^{n\pi+\pi}\bigg|\frac{\sin( x)}{\sqrt x}\bigg|dx\\
&=\sum_{n=1}^\infty\int_0^{\pi}\bigg|\frac{\sin( n\pi+u)}{\sqrt {n\pi+u}}\bigg|du\\
&=\sum_{n=1}^\infty\int_0^{\pi}\bigg|\frac{\sin( u)}{\sqrt {n\pi+u}}\bigg|du\\
&\geq \sum_{n=1}^\infty\int_0^{\frac \pi 2}\frac{\sin(u)}{\sqrt {n\pi+u}}du\\
&\geq \sum_{n=1}^\infty\int_0^{\frac \pi 2}\frac{2u}{\pi \sqrt {n\pi+u}}du\\
&\geq ...
\end{align*}$ Pour la deuxième, pas encore regardé.Le 😄 Farceur -
Pour la deuxième il suffit de considérer la différence avec l’équivalentLe 😄 Farceur
-
Tout dépend de ce que tu appelles l'équivalent mais oui.
On peut, par un développement limité, écrire
\[
\frac{\sin(t)}{\sqrt t + \sin (t) } = \frac{\sin(t)}{\sqrt t} \left(1 - \frac{\sin(t)}{\sqrt t} + \mathcal{O}(t^{-1}) \right)= \frac{\sin(t)}{\sqrt t} + \frac{\cos(t)^2}{t} -\frac{1}{t} + \mathcal O (t^{-3/2})
\]
On obtiens donc la somme d'une intégrale convergente (le grand O), de deux intégrales semi convergentes et d'une intégrale divergente (le $-1/t$). L'intégrale est donc divergente. -
Tu as deviné, la différence c'est $\frac{\sin(t)}{\sqrt t + \sin (t) } - \frac{\sin(t)}{\sqrt t} $
Ça fait longtemps que je ne travaille plus avec ces bestioles : Un savoir qu'on ne pratique plus est un savoir qui meurtLe 😄 Farceur
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Bonjour!
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