Fonctions s.c.i.

Fixons $\epsilon >0$. Puisque $f$ est sci en $a$ alors il existe un voisinage $U$ de $a$ tel que : \[

\forall x \in U ,\ f(x) \ge f(a) - \epsilon

\] Par convergence de la suite $a_{n}$ il existe un rang $N$ tel que $a_{n} \in U$ pour $n>N$. D'où \[

\forall n \ge N ,\ f(a_{n}) \ge f(a) - \epsilon

\] Donc il y a un nombre fini de termes de la suite $(f(a_{n}))_{n}$ en dessous de $f(a)-\epsilon$ ainsi $\liminf\limits_{n \rightarrow +\infty} f(a_{n}) \ge f(a)-\epsilon $
Ce étant valable pour n'importe quel $\epsilon>0$, le résultat tombe.

De rien, bon dimanche.