Équation différentielle ordinaire

Tu connais l'exponentielle intégrale ?

supp

Non, pas du tout. Si $f$ s'annule en un point, elle est partout nulle, cas que l'on écarte désormais. L'équation est à variables séparables et s'écrit : \[\frac{\mathrm{d}f}{f\exp f}=a\,\mathrm{d}x.\] En intégrant, cela donne $\mathrm{Ei}\bigl(-f(x)\bigr)=ax+c$ pour tout $x$, où $c$ est une constante (ou à peu près). L'exponentielle intégrale $\mathrm{Ei}$ n'a pas d'expression à l'aide des fonctions usuelles et il ne semble pas que sa fonction réciproque en ait une.

PS : La fonction $\mathrm{Ei}$ est visiblement une bijection de $\left]-\infty,0\right[$ sur $\left]-\infty,0\right[$ et une bijection de $\left]0,\infty\right[$ sur $\R$. Il y a donc « des » réciproques, oui.

supp