Conjecture - U(n+1)/U(n) -1 = o(1/n)

Effectivement c'est faux.

Si on note $v_n = \ln(u_n)$, on a : $
\begin{aligned}[t]
v_{n+1} - v_n & = \ln\left[1 + \left(\frac{u_{n+1}}{u_n} - 1 \right)\right] \\
& \sim \frac{u_{n+1}}{u_n} - 1 .
\end{aligned}
$

La question devient équivalente à :
Si la série de terme général $d_n = v_{n+1} - v_n$ converge, a-t-on $d_n = o\big(\frac{1}{n}\big)$ ?

Ce qui fait que mes exemples sont compliqués, c'est le résultat suivant :

si $(d_n)$ est monotone, alors il est nécessaire que $d_n = o\big(\frac{1}{n}\big)$ pour que la série $\sum d_n$ converge.

Pour $(u_n)$, ce que ça signifie, c'est que si $(\ln(u_n))$ est convexe ou concave, alors la conjecture est vraie.

Après on peut remplacer $
u_n = \exp\big(\sum\limits_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k-1}}{k}\big)
$
par $
\begin{aligned}[t]
u_n & = \exp\big(\sum\limits_{k=1}^{n} (-1)^{k-1} \cdot \big[\ln(k+1)-\ln(k) \big]\big) \\
& = \prod\limits_{k=1}^{n} \left(\frac{k+1}{k}\right)^{(-1)^{k-1}}.
\end{aligned}
$
et la limite est le célèbre produit infini de Wallis : $\frac{\pi}{2} =
\frac{2}{1} \cdot
\frac{2}{3} \cdot
\frac{4}{3} \cdot
\frac{4}{5} \cdot
\frac{6}{5} \cdot
\frac{6}{7} \dots$.

Oui, il y a plusieurs suites, une avec des $(-1)^k \cdot \frac{1}{k}$ et l'autre avec des $(-1)^k \cdot \big[\ln(k+1)-\ln(k)\big]$.

Elles sont différentes, mais présentent le même comportement de variation alternée.

C'était pour donner un exemple sans $\exp\big(\sum\big)$, qui, effectivement donne un air un peu factice à la construction.