Conjecture - U(n+1)/U(n) -1 = o(1/n)
Bonjour
En reprenant un de mes cours de prépa, je suis tombé sur une conjecture dont je n'ai trouvé ni démonstration ni contre-exemple, je n'arrive donc pas à voir si elle est vraie ou fausse (bien qu'elle m'a l'air fausse).
La voici : (Un) étant une suite à termes positifs qui converge vers vers l (l non nul), on a alors U(n+1)/Un qui converge vers 1. A-t-on alors U(n+1)/U(n) - 1 négligeable devant 1/n ?
J'ai essayé quelques contre-exemples de la forme Un = 1 - Vn où Vn tend vers 0 si possible "pas trop rapidement" (comme Ln(n)/n), mais pour l'instant sans succès...
L'un ou l'une d'entre vous aurait-il/elle une idée ?
Merci d'avance à ceux qui voudront bien me filer un petit coup de main !
En reprenant un de mes cours de prépa, je suis tombé sur une conjecture dont je n'ai trouvé ni démonstration ni contre-exemple, je n'arrive donc pas à voir si elle est vraie ou fausse (bien qu'elle m'a l'air fausse).
La voici : (Un) étant une suite à termes positifs qui converge vers vers l (l non nul), on a alors U(n+1)/Un qui converge vers 1. A-t-on alors U(n+1)/U(n) - 1 négligeable devant 1/n ?
J'ai essayé quelques contre-exemples de la forme Un = 1 - Vn où Vn tend vers 0 si possible "pas trop rapidement" (comme Ln(n)/n), mais pour l'instant sans succès...
L'un ou l'une d'entre vous aurait-il/elle une idée ?
Merci d'avance à ceux qui voudront bien me filer un petit coup de main !
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Si on note $v_n = \ln(u_n)$, on a : $
\begin{aligned}[t]
v_{n+1} - v_n & = \ln\left[1 + \left(\frac{u_{n+1}}{u_n} - 1 \right)\right] \\
& \sim \frac{u_{n+1}}{u_n} - 1 .
\end{aligned}
$
La question devient équivalente à :
Si la série de terme général $d_n = v_{n+1} - v_n$ converge, a-t-on $d_n = o\big(\frac{1}{n}\big)$ ?
$u_n = \exp\big(\sum\limits_{k=1}^{n} \frac{(-1)^k}{k}\big)$
ou bien : $
\begin{aligned}[t]
u_n & = \textstyle \exp\big(\sum\limits_{k=1}^{n} 1_{k \text{ est une puissance de deux}} \cdot \frac{1}{k}\big) \\
& = \textstyle \exp\big(\sum\limits_{2^i\le n} \frac{1}{2^i}\big) \\
\end{aligned}
$.
Par contre je suppose que tu voulais écrire la "suite de terme général..." et pas "la série de terme général..." dans ta première réponse, non ?
si $(d_n)$ est monotone, alors il est nécessaire que $d_n = o\big(\frac{1}{n}\big)$ pour que la série $\sum d_n$ converge.
Pour $(u_n)$, ce que ça signifie, c'est que si $(\ln(u_n))$ est convexe ou concave, alors la conjecture est vraie.
Après on peut remplacer $
u_n = \exp\big(\sum\limits_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k-1}}{k}\big)
$
par $
\begin{aligned}[t]
u_n & = \exp\big(\sum\limits_{k=1}^{n} (-1)^{k-1} \cdot \big[\ln(k+1)-\ln(k) \big]\big) \\
& = \prod\limits_{k=1}^{n} \left(\frac{k+1}{k}\right)^{(-1)^{k-1}}.
\end{aligned}
$
et la limite est le célèbre produit infini de Wallis : $\frac{\pi}{2} =
\frac{2}{1} \cdot
\frac{2}{3} \cdot
\frac{4}{3} \cdot
\frac{4}{5} \cdot
\frac{6}{5} \cdot
\frac{6}{7} \dots$.
bizarrement je vois que ta suite $u_n$ tend vers 2 et non pas $\frac \pi 2$ comme tu dis ! car la somme de la série harmonique alternée $\sum\limits_{k=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{k-1}}{k}$ est $\ln(2)$
Elles sont différentes, mais présentent le même comportement de variation alternée.
C'était pour donner un exemple sans $\exp\big(\sum\big)$, qui, effectivement donne un air un peu factice à la construction.