Lipschitzienne dans toutes les directions.

Veillez m'excuser pour la 1) je vais en dire plus.

Soit $f : \R^{n} \rightarrow \R$.
1) Si pour tout $x \in \R^{n}$ et pour tout $i\in \{1,\ldots,n\},\ |f(x + te_{i}) -f(x)| \le C_{i} |t|$,
alors $f$ est continue. Et plus généralement pour tout compact $K$ de $\R^{n}$ il existe $C_{K}$ qui dépend que du compact de $\R^{n}$ tel que \[
\forall x,y \in K,\ |f(x)-f(y)| \le C_{K} |x-y|.
\]

Bonjour et bon dimanche.

En effet si $C_{i}$ ne dépend pas de $x$, soit $ h = \sum_{i=1}^{n} h_{i}e_{i}$ en notant $u(k) = \sum_{i=1}^{k} h_{i}e_{i}$ on a
\[
|f(x + u(n)) - f(x)| \le |f(x + u(n)) - f(x + u(n-1))| + |f(x+u(n-1)) - f(x)| \le C_{n, x+u(n-1)} |h_{n}| + |f(x+u(n-1)) - f(x)|
\]
Comme $C_{n} = C_{n, x+u(n-1)}$ par itération on a
\[
|f(x + h) - f(x)| \le |h|_{+\infty} (\sum_{i = 1}^{n} C_{i})
\]

Pour généraliser peut être peut-on trouver des propriétés sur les $C_{n}$.