Homotopie des chemins

Celmar2Ceaumar · April 2019

Bonjour,

je travaille sur un polycopié d'analyse complexe. Malheureusement je ne comprends absolument rien à la section sur l'Homotopie des chemins et intégrales de fonctions holomorphes (cf pièce jointe). Quelle est cette histoire avec "le carré" et puis de "deux intervalles" ? Pour moi un carré se "paramétrise" par la donnée de 4 segments ...

J'ai vraiment besoin d'aide. Merci beaucoup.

Bonne journée,

Marcel 85978

Celmar2Ceaumar · April 2019

désolé pour la pièce jointe 85982

Héhéhé · April 2019

Je ne vois pas de pièce jointe ?

Celmar2Ceaumar · April 2019

voilà

gebrane · April 2019

On dirait ça t'amuse ce jeu ?

GaBuZoMeu · April 2019

Caramba, encore raté ! 85988

gebrane · April 2019

[size=large]Histoire passionnante d'un fichier invisible[/size] 85990

Celmar2Ceaumar · April 2019

Excusez-moi la photo ne s'affiche pas quand j'envoie le message ( alors qu'elle s'affiche dans l'aperçu). Il s'agit de la partie Homotopie des chemins et intégrales de fonctions holomorphes (page 51) de ce pdf http://irma.math.unistra.fr/~maudin/analysecomp . 85992

Celmar2Ceaumar · April 2019

Bon en sortant du polycopié, j'ai compris la notion d'homotopie. C'est intuitivement la notion de déformation continue.

- Mais alors si f,g : X -> Y topologiques sont continues. En posant H(s,x) = tf(s)+ (1-t)g(s), à valeurs dans Xx[0,1], je trouve que toutes les fonctions sont homotopes. Donc déjà quelque chose de gros m'échappe.

- Ensuite, en passant la partie sur l'homotopie des chemins, je tombe sur "tout lacet basé en un point z0 est homotope au lacet constant égal à z0". Cette notion permet apparemment de définir un ouvert connexe comme un ouvert simplement connexe. Je ne vois pas très bien le rapport avec un connexe qui "n'aurait pas de trou". Peut-être est-ce une façon de dire qu'on peut déformer le lacet jusqu'à le le refermer sur le point. Si la déformation est continue, alors on ne tombe pas sur un trou. Donc si on peut appliquer de tels déformations sur tous les points de l'ouvert, c'est que l'ouvert n'a pas de trou ? Je n'en sais rien.

- Pour finir, je ne comprends toujours rien à l'histoire du carré ...

Poirot · April 2019

Oui quelque chose t'échappe, quel sens donnes-tu à $a+b$, avec $a$ et $b$ dans $Y$ espace topologique quelconque ? Ce que tu dis est correct si $Y$ est un espace vectoriel normé par exemple, mais n'a pas de sens en général.

Pour l'histoire du lacet constant, arrives-tu à voir comment déformer de manière continue le cercle unité de $\mathbb C$ en un point non nul de $\mathbb C$ sans jamais passer par l'origine ?

Enfin "l'histoire du carré" est la suivante. Tu souhaites déformer deux chemins, que tu identifies temporairement au segment source qui les paramétrise. Tu représentes le premier chemin par le segment vertical $\{0\} \times [0, 1]$ par exemple, et le second par $\{1\} \times [0, 1]$. Faire une homotopie entre les deux revient à trouver une famille continue de chemins reliant ce premier chemin au second, et donc à "remplir le carré entre les deux segments" !

Celmar2Ceaumar · April 2019

Bonjour Poirot,

déjà merci pour ces réponses !

Effectivement c'était un abus de parler d'espace topologique. Mais comme je travaille mon cours d'analyse complexe, Y= C est bien un evn.

Pour l'histoire du lacet pour moi ce que tu me demandes est impossible. Mais je répondrai qu'il faudrait translater le cercle unité autour du point non nul étudié, et parallèlement appliquer une "diminution" de cercles concentriques. C'est assez foireux mais une homotopie du type (si z0 est le point non nul étudié) : H(s,t) = s*z0 + (1-s)*exp(it), 0<s<1.
Mais là, on doit passer par 0 ...

Merci c'est clair pour le carré !

Poirot · April 2019

Eh bien justement tu ne peux pas homotoper le cercle unité en un point sans passer par $0$ ! Cela vient du fait que, justement, $\mathbb C^*$ n'est pas simplement connexe. Bien qu'intuitif, ce n'est pas si évident que ça à montrer par contre.