Régularisation de domaines

Phare · April 2019

Bonjour a tous,

Je n'arrive pas à trouver une référence traitant de la régularisation des domaines:
J'ai un domaine de $\mathbb{R}^n$ de classe $C^0$ ou $C^1$ et je veux l'approcher par des domaines de classes $C^{\infty}$.

Je ne sais pas vraiment de quelle genre d'approximation il s'agirait mais il faut que les volumes et les surfaces passent à la limite.
Pour un peu de contexte cela permettra d’établir l’inégalité isopérimétrique dans $\mathbb{R}^n$ pour une plus grande classe d'ouverts après l'avoir établi pour des ouverts lisses.

Merci d'avance

BobbyJoe · April 2019

Pour pouvoir parler de périmètre, il suffit que l'indicatrice du domaine soit à variations bornées :
$BV$ est un sur-espace de $W^{1,1}$ (qui est complet pour la distance de la convergence en variation totale).
Tu peux trouver cette page Wiki : https://en.wikipedia.org/wiki/Caccioppoli_set
mais surtout des références pour apprendre ce pan passionnant de la théorie géométrique (fine) de la mesure.
N'importe quel livre avancé sur les espaces de Sobolev traitent de ceci en détail, entre autres...

Je te conseille également de te renseigner sur la notion de distance de Hausdorff-Gromov (mesurée ou non, pointée ou non)
pour la convergence des ensembles dans un sens robuste!

Said Fubini · April 2019

Le produit de convolution ??

Phare · April 2019

@bobby joe
Merci pour ces notions,
Mais c'est un peu trop général pour moi, les ouverts étant assez réguliers j'espérais n'avoir affaire qu'à des notions plus élémentaires.(sans mesure de haussdorf par exemple)
Ensuite pour gromov haussdorf, la convergence implique t'elle la convergence des volumes? Et les ouverts lisses sont ils denses pour cette topologie?

Merci encore.

Ps:il semblerait qu'en considérant l'indicatrice de mon ouvert puis en l'approximant par des fonctions lisses à support compact et en regardant les "level sets" de celles ci je pourrais m'en sortir.
Mais je ne vois pas trop.
8-)