Intégrale à paramétre et équa. diff. .
Bonjour,
Soit : $g$ une fonction de la variable réelle à valeur réelle, continue, de carré intégrable. Soit $\alpha > 0$.
On définit la fonction $\psi$ ainsi : $\psi(x) = \int_{x}^{\infty} e^{\alpha(x-t)}g(t) dt$.
1/ Montrer que pour tout $x$, l'intégrale $\psi(x)$ est absolument convergente.
Pour répondre à ça je dis que puisque $g$ est de carré intégrable, son carré tend vers $0$ en l'infini, donc $|g|$ tend vers $0$ en l'infini, et comme elle est continue, on peut la majorer par $M$ un réel.
Alors $\psi(x) \leq M\int_{x}^{\infty} e^{\alpha(x-t)} < \infty $.
2/ Montrer que $\psi$ tend vers $0$ en l'infini.
On utilise ce qui est au dessus pour conclure.
3/ Montrer que $\psi$ satisfait l'équation différentielle : $\psi^{'} = \alpha \psi - g$
Là je bloque ...
J'ai envie d'utiliser le théorème de dérivabilité des intégrales à paramètres, mais en dérivant l'intégrande je n'obtiens pas ce qui est demandé mais plus simplement $\psi^{'} = \alpha \psi$ ...
Quelqu'un a une idée pour la 3 ?
Et si par ailleurs les deux premières questions sont bien traitées.
Merci !
Soit : $g$ une fonction de la variable réelle à valeur réelle, continue, de carré intégrable. Soit $\alpha > 0$.
On définit la fonction $\psi$ ainsi : $\psi(x) = \int_{x}^{\infty} e^{\alpha(x-t)}g(t) dt$.
1/ Montrer que pour tout $x$, l'intégrale $\psi(x)$ est absolument convergente.
Pour répondre à ça je dis que puisque $g$ est de carré intégrable, son carré tend vers $0$ en l'infini, donc $|g|$ tend vers $0$ en l'infini, et comme elle est continue, on peut la majorer par $M$ un réel.
Alors $\psi(x) \leq M\int_{x}^{\infty} e^{\alpha(x-t)} < \infty $.
2/ Montrer que $\psi$ tend vers $0$ en l'infini.
On utilise ce qui est au dessus pour conclure.
3/ Montrer que $\psi$ satisfait l'équation différentielle : $\psi^{'} = \alpha \psi - g$
Là je bloque ...
J'ai envie d'utiliser le théorème de dérivabilité des intégrales à paramètres, mais en dérivant l'intégrande je n'obtiens pas ce qui est demandé mais plus simplement $\psi^{'} = \alpha \psi$ ...
Quelqu'un a une idée pour la 3 ?
Et si par ailleurs les deux premières questions sont bien traitées.
Merci !
Réponses
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1. Attention à cette faute grossière: si l’intégrale est convergente cela n'implique pas que la fonction tende vers 0!!!
la bonne approche serait d'utiliser l’inégalité de Cauchy-Schwarz. (on te parle de carré intégrable faut se douter!)
2. Absolument pas, l'intégrand dépend de $x$ !! tu ne peux pas conclure de cette manière. Vois-tu pourquoi?
Je te laisse ressayer, la encore C-S ensuite essaye de te débarrasser de la dépendance de l'intégrand de $x$
3. Pas besoin de dérivation sous signes somme. Simplifie l'expression de ta fonction, c'est niveau terminale.
Allez courage ! -
supp
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Je suis à côté de la plaque effectivement ...
Pour la 1/ en utilisant Hölder avec $f(t) = e^{\alpha(x-t)} \mathbb{1}_{[x, +\infty]}$ et $g$ on obtient :
$\int_{\mathbb{R}}|f(t)g(t)|dt \leq ( \int_{\mathbb{R}}f(t)^2dt )^{1/2} (\int_{\mathbb{R}}g^2(t) \mathbb{1}_{[x, +\infty]} dt)^{1/2} < \infty$
Pour la 2/ On fait un changement de variable $y = x-t$ pour la première intégrale pour se débarrasser du $x$.
$\int_{\mathbb{R}}|f(t)g(t)|dt \leq ( \int_{\mathbb{R}}f(t)^2dt )^{1/2} (\int_{\mathbb{R}}g^2(t) \mathbb{1}_{[x, +\infty]} dt)^{1/2} \leq ( \int_{0}^{\infty} e^{-2\alpha y} dy )^{1/2} (\int_{x}^{\infty}g^2(t) dt)^{1/2} $.On remarque que l'on a affaire à une intégrale convergente dont la valeur ne dépend plus de $x$, pour la deuxième intégrale je pensais utiliser le critère de Cauchy ? Puisque l'intégrale est convergente et que $x$ tend vers l'infini, on peut rendre l'intégrale plus petite que n'importe quel $\epsilon > 0$.
Pour la 3/
Du coup je procède différemment, je trouve le résultat demandé, mais je ne me passe pas la dérivation sous le signe intégrale et je ne suis pas sûr que cela soit tout à fait licite, $g$ n'étant pas forcément intégrable, n'est-ce pas ?
$\psi(x) = \int_{0}^{+\infty} e^{-\alpha y} g(x+y) dy = [G(x+y)e^{-\alpha y}]^{\infty}_{0} + \alpha \int_{0}^{+\infty} G(x+y)e^{-\alpha y}dy = -G(x) + \alpha \int_{0}^{+\infty} G(x+y)e^{-\alpha y}dy$
Du coup en dérivant tout fonctionne (ou pas).
Merci pour vos réponses rapides et éclairantes. -
C'est plus Cauchy-Schwarz que Hölder, mais passons. Il te manque des puissances dans les intégrales de droite ! $g$ n'a aucune raison d'être $L^1$ donc l'intégrale $\int_{\mathbb R} g(t) \,dt$ n'a pas de sens !
Pour la 2) tu as la bonne méthode, mais il s'agit de voir qu'il s'agit juste de la "queue" d'une intégrale absolument convergente (sans oublier la puissance qui manque depuis la question 1)).
Pour la 3) tu pourrais remarquer plus simplement que $$\psi(x) = e^{\alpha x} \times \int_x^{+\infty} e^{-\alpha t} g(t) \,dt.$$ -
Un peu à la rue hier ...
Quand vous dites c'est Cauchy-Schwarz, on peut à l'écrit l'invoquer sans forcément introduire l'espace euclidien et son produit scalaire qui va avec ? C'est un résultat que l'on peut admettre en prépa ? C'est pour ça que j'ai préféré m'en passer en fait.
Pour la 2/, on peut se passer du critère de Cauchy du coup ?
Pour la 3/ oui c'est beaucoup plus simple après avoir remarqué ça ...
Merci !
Edit : une autre question, pourquoi je ne retrouve pas le même résultat en dérivant directement la fonction sous l'intégrale ? C'est l'indicatrice qui dérange ? Parce que j'ai l'impression que sa dérivée vaut $1$ p.p :-S -
Bah en prépa on peut justifier Cauchy-Schwarz sur $[0, +\infty[$ en écrivant l'inégalité sur tout segment $[0, R]$ puis faire tendre $R$ vers $+\infty$ en justifiant la convergence.
Et Cauchy-Schwarz pour les intégrales c'est Hölder avec $p=2$, c'est tout ce que je voulais dire.
Pour la 2) pas besoin du critère de Cauchy non.
Pour la 3) tu dois mal dériver, pas besoin d'introduire d'indicatrice, on parle d'intégrale de fonctions continues !
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Bonjour!
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