Fourier

Attention, le tore (de dimension $1$) ce n'est pas "juste" $[0, 2\pi]$. C'est $[0, 2\pi]$ quotienté par la relation d'équivalence $0 \sim 2 \pi$. Autrement dit, c'est $\mathbb R/(2\pi \mathbb Z)$ (ou $\mathbb R/\mathbb Z$ ça revient au même), ou encore c'est le cercle.

On ne parle donc pas de l'ensemble des restrictions à $[0, 2\pi]$ des éléments de $\mathcal D(\mathbb R)$ mais bien des fonctions $\mathcal C^{\infty}$ sur $\mathbb T$ (le support est automatiquement compact puisque $\mathbb T$ est compact). On peut voir ces fonctions $f$ comme les fonctions de classe $\mathcal C^{\infty}$ sur $[0, 2\pi]$ avec $f^{(k)}(0)=f^{(k)}(2\pi)$ pour tout $k \in \mathbb N$.