Fonction trigonométrique
Bonjour à tous,
Je cherche à étudier les variations de la fonction $f(x) = a \times \cos(x) + b \times \sin(x)$ sur l'intervalle $\left[0;\frac{\pi}{2}\right]$avec $a$ et $b$ positifs.
J'ai calculé la dérivée mais j'ai l'impression qu'elle ne m'amène rien car je reste toujours avec une somme et non un produit.
$f'(x) = -\sin(x) \times a + \cos(x) \times b$
EDIT:je cherche à étudier les variation de $f$ en non pas le signe.
Je cherche à étudier les variations de la fonction $f(x) = a \times \cos(x) + b \times \sin(x)$ sur l'intervalle $\left[0;\frac{\pi}{2}\right]$avec $a$ et $b$ positifs.
J'ai calculé la dérivée mais j'ai l'impression qu'elle ne m'amène rien car je reste toujours avec une somme et non un produit.
$f'(x) = -\sin(x) \times a + \cos(x) \times b$
EDIT:je cherche à étudier les variation de $f$ en non pas le signe.
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Réponses
Tu sais ce qu'est un nombre complexe ?
$$z = a+ib =r(\cos \theta + i \sin \theta)$$ avec $r$ le module de $z$ et $a,b \in \mathbb{R}$.
OK, $a$ et $b$ réels, pas tous les deux nuls, te sont donnés. Fais-moi confiance cinq minutes et explique-nous comment trouver $r$ et $\theta$ tels que $a+b\mathrm{i}=r\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}$. Puis injecte les expressions dans ta fonction $f$ et regarde avec tes yeux.
OK, donc $f(x)=r(\cos x\cos\theta+\sin x\sin\theta)$ pour tout $x$. Comment continue-t-on ?
$$f(x) = r\cos(x-\theta)$$
$$f'(x) = -r\sin(x-\theta)$$
Comme $r>0$ il suffit d'étudier le signe de $\theta$.
Pour $x \in [0;\theta]$, $f'$ est positive donc $f$ est croissante
Pour $x \in \left[\theta;\frac{\pi}{2}\right]$, $f'$ est négative donc $f$ est décroissante..
Pour les variations, il y a un petit point à justifier : (pourquoi) sait-on que $\theta$ est dans l'intervalle $[0,\pi/2]$ ?
Trés jolie ,mais le $\frac{\pi}{2}+k\pi$ finira par poser problème quelque part .
@Ratwez
$Math Coss$ a fait un changement de variable avec les coordonnées polaire , c'est la même idée , en fin je crois.
Amicalement
TY