Fonction trigonométrique

Ratwez
Ratwez
dans Analyse
Bonjour à tous,

Je cherche à étudier les variations de la fonction $f(x) = a \times \cos(x) + b \times \sin(x)$ sur l'intervalle $\left[0;\frac{\pi}{2}\right]$avec $a$ et $b$ positifs.

J'ai calculé la dérivée mais j'ai l'impression qu'elle ne m'amène rien car je reste toujours avec une somme et non un produit.
$f'(x) = -\sin(x) \times a + \cos(x) \times b$

EDIT:je cherche à étudier les variation de $f$ en non pas le signe.

Réponses

  • Math Coss
    Math Coss
    Saurais-tu trouver $r>0$ et $\theta$ réel tels que \[a=r\cos\theta\quad\text{et}\quad b=r\sin\theta\;?\]
  • Ratwez
    Ratwez
    Je ne comprends pas ce que je dois faire. Est-ce qu'il me faut trouver $r$ ou $\theta$ ?
  • Math Coss
    Math Coss
    Eh bien, les deux !

    Tu sais ce qu'est un nombre complexe ?
  • Ratwez
    Ratwez
    Oui, un nombre complexe s'écrit sous la forme :
    $$z = a+ib =r(\cos \theta + i \sin \theta)$$ avec $r$ le module de $z$ et $a,b \in \mathbb{R}$.
  • Ratwez
    Ratwez
    Je suis trompé au début du post. Je veux en fait étudier les variations de $f$. Les nombres complexes peuvent-ils m'aider pour cela ?
  • Math Coss
    Math Coss
    Oui !

    OK, $a$ et $b$ réels, pas tous les deux nuls, te sont donnés. Fais-moi confiance cinq minutes et explique-nous comment trouver $r$ et $\theta$ tels que $a+b\mathrm{i}=r\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}$. Puis injecte les expressions dans ta fonction $f$ et regarde avec tes yeux.
  • Ratwez
    Ratwez
    $r$ est la distance à l'origine donc $r = \sqrt{a^2+b^2}$ et on peut retrouver $\theta$ avec les deux relations $\cos \theta = \dfrac{a}{r}$ et $\sin \theta = \dfrac{b}{r}$.
  • Math Coss
    Math Coss
    Bon, pour $\theta$ il faudrait baratiner un peu ou, à défaut, invoquer le mot magique « argument ».

    OK, donc $f(x)=r(\cos x\cos\theta+\sin x\sin\theta)$ pour tout $x$. Comment continue-t-on ?
  • Ratwez
    Ratwez
    Avec les formules d'addtions du cosinus cela donne :
    $$f(x) = r\cos(x-\theta)$$
  • Ratwez
    Ratwez
    Je dérive $f$. J'obtiens alors :
    $$f'(x) = -r\sin(x-\theta)$$
    Comme $r>0$ il suffit d'étudier le signe de $\theta$.
    Pour $x \in [0;\theta]$, $f'$ est positive donc $f$ est croissante
    Pour $x \in \left[\theta;\frac{\pi}{2}\right]$, $f'$ est négative donc $f$ est décroissante..
  • Ratwez
    Ratwez
    Merci pour l'aide, je n'aurais jamais eu cette idée tout seul.
  • Math Coss
    Math Coss
    C'est une idée classique mais c'est plus facile la deuxième fois où on la rencontre...

    Pour les variations, il y a un petit point à justifier : (pourquoi) sait-on que $\theta$ est dans l'intervalle $[0,\pi/2]$ ?
  • Ratwez
    Ratwez
    Ah oui j'ai oublié d'expliquer ce point. $a$ et $b$ sont positifs ainsi que le module. On a donc $\cos \theta$ et $\sin \theta$ qui sont positifs. L'angle $\theta$ est donc compris entre $\left[0;\frac{\pi}{2}\right]$
  • P.
    P.
    Ben quand j'etais petit, en classe de premiere et sans complexe on nous disait de chercher $\theta$ tel que $\mathrm{tg}(\theta)=b/a$
  • Math Coss
    Math Coss
    Bien sûr, ça marche mais on s'expose à trouver un $\theta$ avec un cosinus négatif, ce qui va (un peu) compliquer la discussion (enfin, pas ici puisque $a\ge0$ ou même $a>0$).
  • Tyoussef
    Tyoussef
    @$P.$
    Trés jolie ,mais le $\frac{\pi}{2}+k\pi$ finira par poser problème quelque part .

    @Ratwez
    $Math Coss$ a fait un changement de variable avec les coordonnées polaire , c'est la même idée , en fin je crois.

    Amicalement
    TY
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