Lemme de Zorn et solution maximale

Bonjour ou bonsoir (voir l'heure)
Dans les mathématiques , il y a deux courants ceux qui admettent ce lemme de Zorn et ceux qui ne le font pas, (dans les deux cas c'est les mathématiques pour moi).

Definition (élément Maximal ,élément Minimal, ensemble Inductif)
Soit $E$ un ensemble ordonné.
- On dit que $a\in E $ est un élément maximal (resp. minimal) de $E$ si, pour tout $x\in E $ , on a $x = a$ dès que $a \leqslant x$ (resp. $ x \leqslant a$ ).
- On dit que $E$ est inductif si toute partie totalement ordonnée de $E$ possède un majorant.

Remarque
- Une partie $A$ d'un ensemble ordonné $E$ est dite une chaîne ,si elle est totalement ordonnée
- Un ensemble ordonné de $E$ est dit inductif si toute chaîne de $E$ possède un majorant .

Lemme de Zorn
Tout ensemble ordonné inductif possède au moins un élément maximal.

Amicalement

Il n'y a pas besoin du lemme de Zorn pour démontrer ce théorème. La réunion de toutes les solutions d'une équation différentielle (satisfaisant les conditions du théorème de Cauchy Lipschitz) passant par une conditio initiale donnée est encore une solution (c'est de facto une
fonction par le théorème d'unicité - étant entendu qu'une fonction est par définition un ensemble de couples - notons-le f ici - tel que pour tous x,y,z, si (x,y) et (x,z) appartiennent à f alors y=z).