Lemme de Zorn et solution maximale
dans Analyse
Bonsoir
À propos de l'utilisation du lemme de Zorn pour montrer l'existence de la solution maximale d'une équation différentielle avec une condition initiale. Je cherche à trouver sur quel ensemble on applique le lemme de Zorn, c'est-à-dire qui est cet ensemble inductif et qui admet un élément maximal d’après le lemme de [large]Z[/large]orn?
Cordialement.
[En toute occasion, Max August Zorn (1906-1993) prend une majuscule ! AD]
À propos de l'utilisation du lemme de Zorn pour montrer l'existence de la solution maximale d'une équation différentielle avec une condition initiale. Je cherche à trouver sur quel ensemble on applique le lemme de Zorn, c'est-à-dire qui est cet ensemble inductif et qui admet un élément maximal d’après le lemme de [large]Z[/large]orn?
Cordialement.
[En toute occasion, Max August Zorn (1906-1993) prend une majuscule ! AD]
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Réponses
Dans les mathématiques , il y a deux courants ceux qui admettent ce lemme de Zorn et ceux qui ne le font pas, (dans les deux cas c'est les mathématiques pour moi).
Definition (élément Maximal ,élément Minimal, ensemble Inductif)
Soit $E$ un ensemble ordonné.
- On dit que $a\in E $ est un élément maximal (resp. minimal) de $E$ si, pour tout $x\in E $ , on a $x = a$ dès que $a \leqslant x$ (resp. $ x \leqslant a$ ).
- On dit que $E$ est inductif si toute partie totalement ordonnée de $E$ possède un majorant.
Remarque
- Une partie $A$ d'un ensemble ordonné $E$ est dite une chaîne ,si elle est totalement ordonnée
- Un ensemble ordonné de $E$ est dit inductif si toute chaîne de $E$ possède un majorant .
Lemme de Zorn
Tout ensemble ordonné inductif possède au moins un élément maximal.
Amicalement
En notant $(I,\varphi)$ une solution : $\varphi$ dérivable sur l'intervalle $I$ et $\forall x\in I,\;\varphi'(x)=f(x,\varphi(x))$ on ordonne cet ensemble par la relation $(I,\varphi) r (J,\psi) \iff I\subset J,\;\psi_{|I}=\varphi$ (ce n'est rien d'autre que l'inclusion des graphes).
fonction par le théorème d'unicité - étant entendu qu'une fonction est par définition un ensemble de couples - notons-le f ici - tel que pour tous x,y,z, si (x,y) et (x,z) appartiennent à f alors y=z).