Développement asymptotique

Connais-tu la formule Faulhaber ? les polynômes de Bernoulli ?

Ah oui, tiens.

supp

supp

@Marsup : J'ai barré mon message plus haut...

Et je retire également le précédent : Euler-Maclaurin ne fonctionne pas, ici.

Bonjour,
Le petit morceau d'analyse suivant, que j'espère exempt d'erreurs de calcul, et où sont omis de nombreux détails, me parait fournir le "développement asymptotique à deux termes " dont il était question au commencement de ce fil.
Je note:
$\forall n \in\N^*,\:\: S_n =\displaystyle \sum_{k=0}^n \left(\dfrac kn \right)^n = \sum_{k=0}^n \left(1-\dfrac kn\right )^n,\:\:\: T_n=\sum_{0\leqslant k \leqslant n^{1/4}} \left(1-\dfrac kn \right)^n, \:\:\: U = \sum_{k=0}^{+\infty} \mathrm e ^{-k}, \: \:\:\: U_n = \sum_{0\leqslant k \leqslant n^{1/4}} \mathrm e^{-k}.$

Alors: $\forall k,n \in \N$ tels que $0 \leqslant \dfrac kn \leqslant 1,\:\: \displaystyle \left(1-\dfrac kn \right)^n \leqslant \mathrm e^{-k},\:\:\: $ et l'on déduit:
$\displaystyle \lim_{n\to + \infty} n(S_n-T_n) =\lim_{n\to +\infty} n(U_n-U) =0,\:\:$ puis que $\:\:\:\boxed{\displaystyle \lim _{n\to +\infty} n\left( S_n-T_n-U +U_n \right) =0\quad\quad (1)}$.

D'autre part: $ n(T_n - U_n)= \displaystyle \sum_{0\leqslant k\leqslant n^{1/4}}n\mathrm e ^{-k}\left(\exp \left(n \ln (1-\dfrac kn) + k\right)-1 \right) = \sum _{0\leqslant k \leqslant n^{1/4}} n \mathrm e ^{-k} \left(\exp \left(-\dfrac {k^2}{2n} +\dfrac {k^2}n \varepsilon (\dfrac kn)\right) -1\right)$, où $\varepsilon$ est une fonction de limite nulle en zéro.
Avec l'inégalité $ 0 \leqslant \mathrm e ^X-X-1 \leqslant X^2$, valable pour $X$ assez proche de $0$, on obtient:
$\displaystyle n(T_n - U_n) = \sum _ {0\leqslant k \leqslant n^{1/4}}\left( \dfrac{- k^2 \mathrm e^{-k}}2 +n \mathrm e ^{-k} R(k,n)\right)\:\:\text{où}\:\: \left|R(k,n)\right | \leqslant \dfrac {k^2}n|\varepsilon (\dfrac kn)| +C\dfrac {k^4}{n^2},\:$ et $C$ est une constante réelle positive.

Il en résulte que: $\displaystyle \lim_{n\to + \infty} \sum _{0\leqslant k \leqslant n^{1/4}} n \mathrm e ^{-k} R(k,n) = 0$, puis que: $\boxed{\:\displaystyle \lim _{n\to + \infty} n (T_n -U_n) = \sum _{k=0}^{+\infty} \dfrac {-k^2 \mathrm e ^{-k}}2 \quad \quad (2)}$
De $(1)$ et $(2)$, on déduit $ \boxed {\displaystyle \sum _{k=0} ^n k^n = n^n\left( \dfrac {\mathrm e}{\mathrm e -1}- \dfrac {\mathrm e(\mathrm e +1)}{2n(\mathrm e-1)^3} + o\left(\dfrac 1n\right)\right)}$

Re
@side
Il me paraissait indispensable d'utiliser un "développement limité " de $(1-\dfrac kn)^n$, mais pour cela, il fallait que $\dfrac kn$ ne soit pas trop grand, d'où l'idée de prendre d'abord timidement $k \leqslant \frac n2$ et de constater avec dépit que cela ne servait à rien, puis $k \leqslant \sqrt n$ pour voir que c'était mieux mais insuffisant, puis enfin $k \leqslant n^{1/4}$ pour que tout baigne enfin. On peut en fait prendre $k\leqslant n ^{\alpha}$ avec $\alpha>0$ aussi petit que l'on veut, dès lors que le fait que $\displaystyle \lim _{n \to + \infty} n \exp (-n^{\alpha}) =0$ permet de contrôler la partie restante de la somme.