Cauchy-Lipschitz

Si la fonction est k -lipschitzienne, alors elle est globalement lipschitzienne ?

Bonsoir Poirot ,si je fais comme ça :

La fonction $f(t,y)={{e}^{-{{t}^{2}}}}+y{{e}^{-{{y}^{2}}}}$ est est globalement lipschitzienne par rapport à y car d’après l’inégalité d’accroissement fini:

$\begin{aligned}
\left| f(t,{{y}_{1}})-f(t,{{y}_{2}}) \right|&=\left| {{e}^{-{{t}^{2}}}}+{{y}_{1}}{{e}^{-{{y}_{1}}^{2}}}-{{e}^{-{{t}^{2}}}}-{{y}_{2}}{{e}^{-{{y}_{2}}^{2}}} \right|=\left| {{y}_{1}}{{e}^{-{{y}_{1}}^{2}}}-{{y}_{2}}{{e}^{-{{y}_{2}}^{2}}} \right| \\
& \le \left( \underset{\mathbb{R}}{\mathop{\sup \left| \left( 1-2{{y}^{2}} \right){{e}^{-{{y}^{2}}}} \right|}}\, \right)\left| {{y}_{1}}-{{y}_{2}} \right|\le \left| {{y}_{1}}-{{y}_{2}} \right| \\
\end{aligned}$

Pour tout $t\in \left[ 0,+\infty \right[$ et $y_1$ et $y_2$ de $\mathbb{R}$, Le problème de Cauchy admet donc une unique solution globale sur $\left[ 0,+\infty \right[$ d’après le théorème Cauchy Lipschitz global

Bonjour Héhéhé ,

Si la fonction est bornée, la solution maximale est globale.