Borne inférieure finie.

Je n'arrive même pas à démarrer quand je suppose par l'absurde que $m=-\infty$.
Indication s'il vous plaît.

Bonjour
@Poirot
Ah oui j'ai compris avec ceci on montre que $1\le \inf J(K \setminus B(o,r))$. Et comme $K\cap B(o,r)$ est faiblement compact et que $J$ est faiblement sci (car convexe et sci) alors $J$ atteint sa borne inférieure sur $K\cap B(o,r)$.

Je ne sais pas si le fait que $J$ soit vraiment propre est nécessaire.

J'essaie de montrer ce résultat car j'ai l'impression que l'hypothèse $J$ propre est superflue.
Proposition:
Soit $E$ un espace vectoriel topologique. $J:E \to \bar{\mathbb R}$ une fonction sci et $K$ un compact alors $J$ atteint sa borne inférieure sur $K$.
Essaie de preuve:
Soit $g$ la restriction de $J$ sur $K$ . Pour $y\in g(K)$ posons $A_y=${$x\in K: J(x)\le y$}.
Si $y=+\infty$ , $A_y=K$ qui est non vide et fermé. Si $y< +\infty$ alors ils existe $x_o \in K$ tel que $y=f(x_o)$ donc $x_o \in A_y$ Donc $A_y$ est non vide et fermé car $g$ est sci. Ainsi pour tout $y\in g(K), A_y $ est non vide et fermé.
Soit $y_1,...y_n \in g(K)$ on a $\cap_{i=1} ^{n} A_{y_i}=A_{y_o}\neq \emptyset$ ou $y_o =min${$y_1,...,y_n$}.
Donc comme $K$ est compact alors $\cap_{y \in g(K)}A_{y}\neq \emptyset$. Soit $u\in \cap_{y \in g(K)}A_{y}$ alors $J(u)\le J(v), \forall v\in K$ D'ou $J(u)=\inf_{v\in K} J(v)$ mais je ne vois pas pourquoi $J(u)$ devrait être fini bien que la borne inférieure soit atteinte car je me dit que puisque $J(u)$ peut etre infini car $J(E)\subset \bar{\mathbb R}$

J'ai besoin de quelques éclaircissement s'il vous plait.

Personne pour m'aider à comprendre cette notion ?

Un peu d'aide s'il vous plait