Densité dans $\ell^2$

Ça ne risque pas de former une base hilbertienne puisqu'il ne s'agit même pas d'une famille orthogonale !

Le terme base hilbertienne est mal adapté puisque les éléments ne sont pas orthogonaux deux à deux.

Voilà une autre idée pour montrer que la famille est dense :
Je note $(f_i)_{i\geq 1}$ la base hilbertienne "canonique" de $\ell^2$. On va montrer que chaque $f_k$ est dans l'adhérence de $\mathrm{vect}(e_i)$, ce qui donnera la propriété voulue. On procède par récurrence sur $k$ :
Si $k=1$ ce n'est pas compliqué, on peut approcher $f_1$ d'aussi près que l'on veut par $e_i$ avec $i$ assez grand.
Pour l'hérédité maintenant, on regarde $k^ie_i$, le $k$-ième terme de cet élément de $\ell^2$ est $1$ et la norme $\ell^2$ de tous les termes de rang supérieur à $k+1$ peut être rendue arbitrairement petite lorsque $i\to \infty$. Il suffit alors d'utiliser l'hypothèse de récurrence pour "enlever" les $k-1$ premier termes de $k^i e_i$ à un petit reste près. Cela montre bien que $f_k$ est dans l'adhérence de $\mathrm{vect}(e_i)$.