Fonction différentiable et gradient
dans Analyse
Bonjour, voici l'énoncé qui me pose problèmes.
$\text{Considérons la fonction quadratique } f(\underline{x}) = \underline{x}^TA\underline{x} \text{ sur } R^n
\\ \text{Calculer la différentielle de f et déduire que le gradient de f est donné par} \\
\nabla f(\underline{x}) = (A + A^T)\underline{x}.$
Tout d'abord, faut-il montrer que la fonction est différentiable avant de calculer la différentielle ? Si oui, j'ai pensé utiliser la caractérisation de Carathéodory. Cependant, j'ai toujours le problème de comment trouver la fonction $\phi$ de la caractérisation. Un autre problème est que je ne vois pas comment différentier $\underline{x}^TA\underline{x}$.
Merci d'avance pour vos réponses.
$\text{Considérons la fonction quadratique } f(\underline{x}) = \underline{x}^TA\underline{x} \text{ sur } R^n
\\ \text{Calculer la différentielle de f et déduire que le gradient de f est donné par} \\
\nabla f(\underline{x}) = (A + A^T)\underline{x}.$
Tout d'abord, faut-il montrer que la fonction est différentiable avant de calculer la différentielle ? Si oui, j'ai pensé utiliser la caractérisation de Carathéodory. Cependant, j'ai toujours le problème de comment trouver la fonction $\phi$ de la caractérisation. Un autre problème est que je ne vois pas comment différentier $\underline{x}^TA\underline{x}$.
Merci d'avance pour vos réponses.
Réponses
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supp
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Bonjour,
Side a donné tous les éléments pour répondre à la question, je rajouterais deux éléments :
1) il est assez inhabituel (mais on pourra me corriger) de parler de forme quadratique lorsque la matrice $A$ n'est pas symétrique;
2) ${}^t\! x\,y = \langle x,y\rangle $ et $\nabla f(x)$ est l'unique vecteur vérifiant $\mathrm{D}f(x)\cdot h = \langle \nabla f(x), h\rangle$ pour tout vecteur $h$. -
Le fait que $f$ soit ou non une forme quadratique ne dépend que de $f$ (donc a priori, pas directement de $A$).
La matrice $A$ n'est pas déterminée par la fonction $f$, mais, en revanche, la fonction $f$ s'écrit aussi $f : \vec x \mapsto {}^t \vec x \cdot S \cdot \vec x$ pour une unique $S$ symétrique.
Il se trouve que $S$ est la partie symétrique de $A$, soit : $S = \frac12 \cdot ({}^t\! A + A)$, et que $f$ est une forme quadratique pour toute $A$. -
Merci beaucoup à marsup pour cette explication instructive.
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Bonjour à tous, merci pour vos réponses.
En fait, je ne peux pas utiliser la notation petit o car on ne l'a pas vu en cours. Auriez-vous une autre approche ?
Cordialement,
Klai Tayan -
Comment ce cours définit-il la différentielle ? Par $f(x+h)=f(x)+Df_x(h)+\|h\|\varepsilon(h)$ avec $\lim_{h\to0}\varepsilon(h)=0$ ? C'est pareil ! La clé, de toute façon, consiste à développer $f(x+h)$.
Autre approche : trouver une expression de $f(x)$ en fonction des coefficients $a_{ij}$ et des $x_i$ et la dériver. Plus pénible. -
Bonjour,
Tu peux aussi calculer les dérivées partielles (donc la jacobienne) de ta fonction en la développant au préalable.
le calcul se fait bien puisque tu n'as que des termes de degré deux.
tu vas rapidement voir apparaitre A+A' !
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Bonjour!
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