Équation fonctionnelle et point fixe

Bonjour je bloque actuellement sur un exercice. Voici une partie de l'énoncé:
Soit l'espace vectoriel des fonctions continues sur $[0,1]$ à valeurs réelles. Pour $f \in \mathcal{C}([0,1])$, on pose:
\[ \|f\|_{\infty} = \underset{t \in [0,1]}{\sup} |f(t)| \]

On sait que $(\mathcal{C}([0,1]), \|.\|_{\infty})$ est un espace de Banach. On considère la fonction $\varphi(f)$ par:
\[ \forall x \in [0,1],\text{ } \text{ } \varphi(f)(x) = \int_{0}^{1} \sin(x^2+t^2)f(t)dt \]

J'ai montré premièrement que $\varphi(f)$ est bien définie et que c'est un élément de $\mathcal{C}([0,1])$. Je bloque lors de la deuxième question. On me demande de considérer l'équation fonctionnelle suivante:

\[ f(x) = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} \sin(x^2 + t^2)f(t)dt \]

L'énoncé me demande de reprendre la fonction $\varphi$ énoncé précédemment afin de démontrer que l'équation fonctionnelle en question admet une unique solution $f$ continue sur $[0,1]$. Vu le contexte je voulais montrer que $\varphi$ est contractante, mais ce n'est pas le cas. Voici ce que je trouve:
Soient $f$ et $g$ dans $\mathcal{C}([0,1])$, alors on a
\begin{eqnarray*}
| \varphi(f)(x) - \varphi(g)(x)| & = & \left| \int_{0}^{1} \sin(x^2+t^2)f(t)dt - \int_{0}^{1} \sin(x^2+t^2)g(t)dt \right| \\ \\
& = & \left| \int_{0}^{1} \sin(x^2+t^2)(f(t)-g(t))dt \right| \\ \\
& \leqslant & \int_{0}^{1} |\sin(x^2 + t^2)||f(t) - g(t)|dt \\ \\
& \leqslant & \int_{0}^{1} |f(t) - g(t)|dt \text{, }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ } \text{car on sait que pout tout $x \in [0,1], |\sin(x)| \leqslant 1$}\\ \\
& \leqslant & \|f-g\|_{\infty}
\end{eqnarray*}

Peut-être que je fais fausse route dans les inégalité précédentes, quelqu'un pourrais m'aider?
Cordialement