Trouver le plus petit nombre réel $m$, pour lequel il existe deux nombres réels $a$ et $b$
tels que l’inégalité $|x^2+ax+b | \le m(x^2+1)$
soit vérifiée pour tout $x$ de l’intervalle $[-1;1]$.
Commence par enlever le paramètre $a$, c'est à dire poser $a=0$.
Il reste à trouver le paramètre $b$ tel que $|x^2 - b| \le m \cdot (x^2+1)$ avec le plus petite constante $m$ possible. (c'est une discussion selon $b$ en $x=0$, et $x = \pm1$.)
Ensuite, une fois qu'on a le dessin sous les yeux, on est à peu près convaincu que notre solution ($b=\frac{1}{3}$) est la meilleure, même en ajoutant le paramètre $a$.
Réponses
En effet, pour $T(x) = x^2 + a x + b$, notons $S(x) = \frac{1}{2} \cdot [T(x)+T(-x)] = x^2 + b$.
Alors, par inégalité triangulaire, on a : $|S(x)| \le \max(|T(x)|,|T(-x)|)$.
On a donc toujours intérêt à choisir $a = 0$.
Il reste à trouver le paramètre $b$ tel que $|x^2 - b| \le m \cdot (x^2+1)$ avec le plus petite constante $m$ possible. (c'est une discussion selon $b$ en $x=0$, et $x = \pm1$.)
Ensuite, une fois qu'on a le dessin sous les yeux, on est à peu près convaincu que notre solution ($b=\frac{1}{3}$) est la meilleure, même en ajoutant le paramètre $a$.