Inéquation

Je pense que la réponse est que, pour $-1 \le x \le 1$, on a : $\quad \big|x^2 - \frac{1}{3}\big| \le \frac{1}{3} \cdot (x^2+1)$.

En effet, pour $T(x) = x^2 + a x + b$, notons $S(x) = \frac{1}{2} \cdot [T(x)+T(-x)] = x^2 + b$.

Alors, par inégalité triangulaire, on a : $|S(x)| \le \max(|T(x)|,|T(-x)|)$.

On a donc toujours intérêt à choisir $a = 0$.

La plus petite valeur possible est $m=\frac{1}{3}$.

Commence par enlever le paramètre $a$, c'est à dire poser $a=0$.

Il reste à trouver le paramètre $b$ tel que $|x^2 - b| \le m \cdot (x^2+1)$ avec le plus petite constante $m$ possible. (c'est une discussion selon $b$ en $x=0$, et $x = \pm1$.)

Ensuite, une fois qu'on a le dessin sous les yeux, on est à peu près convaincu que notre solution ($b=\frac{1}{3}$) est la meilleure, même en ajoutant le paramètre $a$.