Calcul d'une intégrale multiple

chire2b · April 2019

Bonjour à tous,
je cherche à calculer une integrale multiple et ne sais pas trop comment m'y prendre..
(l’intégrale est en pièce jointe)
J'imagine qu'il faut se référer aux plus petits éléments de I et J, qui donnent les min, mais j'ai du mal à avancer..

Merci d'avance pour votre aide !

side · April 2019

supp

Said Fubini · April 2019

Je fais la même remarque que side, je pense que tous les $x_i$ sont compris entre 0 et 1.

Si $\min I=\min J=1$ alors ton intégrale vaut $ \frac{1.2}{(n+2)!}$ : facile à vérifier avec Fubini
Si $\min I=\min J=2$ alors ton intégrale vaut $ \frac{2.3}{(n+2)!}$ : facile à vérifier avec Fubini et la fonction Béta

Et en général si $\min I=\min J=i_0$ alors ton intégrale vaut $ \frac{i_0.(i_0+1)}{(n+2)!}$ : facile à vérifier avec Fubini
ci-joint un script sur scilab (calcul approché de l'intégrale à la Monté-Carlo qui confirme le résultat).

function   Int=f(N,n,i,j)
    for I=1:N
         Y = grand(1, n, "unf", 0, 1)
   if sum(Y==-gsort(-Y))==n then
       
       c(I)=Y(i)*Y(j)
   else
      c(I)=0
   end   
end
Int=sum(c)/N
endfunction

chire2b · April 2019

Bonjour, tout d'abord, merci pour votre aide !

En effet j'ai oublié de préciser les xi entre 0 et 1.

de manière générale, si i=minI et j=minJ j'obtient par integration successives

i*j/(n+2)!.

ce qui semble cohérent avec les résultats de Said Fubini.

Il est vrai que l'énoncé est un peu curieux, je suis actuellement en stage R&D, et j'avais besoin de calculer cette intégrale venant d'un modèle de Choquet

Merci encore pour votre aide !

Said Fubini · April 2019

Bonjour,
je ne comprends pas ton résultat ? Je pense qu'il est faux.
L'idée c'est considérer toutes les permutations qui fixent $\min I$ et $\min J$ dans $\mathfrak S_n$

chire2b · April 2019

Bonjour,
En effet je corrige mon résultat qui est plutôt : I=(n-i+1)(n-j+1)/(n+2)!

j'explique ce que j'ai fait:
En posant
i = min I et j=min J et supposant j<i
j'ai simplement intégré successivement en commençant par intégrer suivant xn et en prenant comme bornes [0:xn-1] puis [0:xn-2] .. puis [0:x1] puis [0:1]. du coup j'intègre 1 sur [0:xn-1] ce qui me donne xn-1 puis xn-1 sur [0:xn-2] ce qui donne xn-2^2/2 jusqu'à arriver à xi, ce qui ajoute un en puissance et fait "sauter" un chiffre au dénominateur, qui passe de 1*2*…(n-i) a 1*2*..(n-(i+2)). Puis on en arrive à intégrer xj, puis finalement xn^(n+1) sur [0:1].
ce qui donne 1/1*2*..(n-i)*(n-(i+2))*…*(n-j)*(n-(j+2))*…(n+1)*(n+2)

qu'en pensez-vous?

Said Fubini · April 2019

en commençant par intégrer suivant $ x_n $ et en prenant comme bornes $[0,x_{n-1}]$ : pourquoi?
Pour moi les bornes sont $[x_{n-1},1]$ , non ?
Commence d'abord par traiter le cas particulier :$minI=minJ=i_0 $ , et tu verras la difficulté: ton intégrale vaut $i_0(i_0+1)/(n+2)! $

bisam · May 2019

Il y a deux cas à traiter suivant que $\min(I)$ et $\min(J)$ sont égaux ou différents.

Si je ne m'abuse, vous avez tous les deux raison, Said Fubini et chire2b... mais vous n'avez pas traité le même cas.

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