Question de cours théorie de l'intégration.

Langevin2016 · April 2019

Bonjour,

J'essaie de me former en théorie de l'intégration pour l'agreg. En lisant un cours de l'UPMC je lis et ne comprends la chose suivante.

Soit E un ensemble et (A_n) une suite de parties (sous-ensembles) de E. On note, lim sup A_n la limite pour n tendant vers l'infini des unions des A_k pour k supérieur à n. La suite est décroissante si bien que sa limite existe toujours.

Si E n'est pas complet la limite n'a pas de raison d'exister? J'imagine que l'on s'intéresse aux réels mais sur les rationnels je crois que toute suite d'ensembles décroissante n'est pas nécessairement convergente.

Je crois comprendre que le but de l'intégrale de Lebesgue est de pouvoir intégrer sur des ensembles plus compliqués. Sont-ils en général des ensembles complets ?

Bien à vous,

Langevin

Boole et Bill · April 2019

Bonjour, pas de notion de complétude ici, on s’intéresse aux parties de E. Je développe quand je rentre chez moi :-)

Poirot · April 2019

Comme l'a dit Boole et Bill, tu ne parles pas du bon contexte. Ici tu disposes d'une suite de parties de $E$. Parler de limite d'une telle suite de parties est parfaitement abusif, et ça n'a rien à voir avec la complétude de $E$, qui n'a aucune raison d'être un espace métrique !

La définition correcte est $$\limsup_{n \to +\infty} A_n = \bigcap_{n \in \mathbb N} \bigcup_{k \geq n} A_k,$$ qui est une partie bien définie de $E$. Ses éléments sont les éléments de $E$ qui appartiennent à $A_n$ pour une infinité de valeurs de $n$.

Boole et Bill · April 2019

Quant au but de l’intégrale de Lebesgue, c’est subjectif. Un avis personnel : si le but est de calculer des intégrales de fonctions continues, pas besoin de l’intégrale de Lebesgue, ni de celle de Riemann d’ailleurs. On peut ensuite vouloir intégrer des fonctions « farfelues » comme l’indicatrice de rationnels ou ce genre de chose. L’intégrale de Riemann ne nous fournit pas de valeur, l’intégrale de Lebesgue si. Mais comment interpréter? Est-ce vraiment ça le but d’une intégrale?
Une intégrale, c’est un outil d’analyse, et si on veut faire des mathématiques intéressantes, il faut que l’intégrale que l’on utilise ait des propriétés intéressantes et qu’elles soit assez flexible, générale. Les défauts de l’intégrale de Riemann résident dans le fait que certes elle permet d’intégrer les fonctions classiques, et plus encore, mais elle ne permet pas de faire des intervertions intégrale limite comme l’intégrale de Lebesgue, ou encore les théorèmes de Fubini, et puis définir les espaces $L^p$ : en fait, l’intégrale de Riemann est à la fois trop souple et trop rigide pour faire une théorie avec. Les avantages de l’intégrale de Lebesgue sont tous liés à un théorème : le théorème de convergence monotone. De plus, on définit l’intégrale de Lebesgue dans un espace mesuré, cadre bien plus général que celui de l’intégrale de Riemann.

PS : rejoignez mon parti si je vous ai convaincu, le Parti Mesurable

math2 · April 2019

Moi c'est surtout le dernier point que je partage : le fait que l'on puisse travailler avec des mesures et donc avoir un cadre unifié pour les probas par exemple. Sinon sur $\R$ avec sa mesure standard j'ai le souvenir que Kurzweil Henstock à une présentation plus proche de Riemann, contient Lebesgue comme cas particulier, des bons théorèmes de convergence et un meilleur théorème fondamental de l' analyse. Enfin c'est mon souvenir il faudrait que je relise tout cela

EDIT : corrections de coquilles

Langevin2016 · April 2019

Merci pour toutes ces réponses! Je vais continuer à lire mes cours l'esprit plus tranquille. Je m'étais posé cette question plusieurs fois et maintenant tout à plus de sens! Je suis d'accord pour joindre le partie mesurable!

Bonne mathématiques à tous,

Question de cours théorie de l'intégration.

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