Convergence d'une intégrale

On fixe $\alpha$ strictement compris entre $-1$ et $t-1$, par exemple $\alpha=\dfrac{t}2-1$. On a : \[\lim_{x\to0^+}\frac{x^{t-1}\ln x}{x^\alpha}=0,\] donc $x^{t-1}\mathrm{e}^{-x}\ln x=o(x^\alpha)$ au voisinage de $0$ : est-ce que ça t'aide ?

Le produit de 2 fonctions intégrables est-il nécessairement intégrable sur un segment (voire un intervalle ouvert) ?

Riemann bien sûr !! Lebesgue je n'y comprends rien.

Un contre-exemple... sur $]0;1]$ , $\frac{1}{\sqrt{x}}$ fois lui-même ? sur $[1;+\infty[$ je ne vois pas par contre ...

Merci pour l'exemple !
As-tu un exemple avec une fonction continue ?

Je ne comprends pas la question de totem (la fonction définie avec les triangles est aussi continue que possible) ni la réponse de Poirot (on cherche un exemple de fonction intégrable dont le carré n'est pas intégrable, donc sur un intervalle qui n'est pas un segment).

Oui, on peut faire des recollements de classe $C^\infty$ sur des intervalles aussi petits que l'on veut et en changeant l'intégrale aussi peu que l'on veut (de moins de $1/n^7$ pour chaque triangle) mais c'est pénible à expliciter.

Ça peut commencer comme ça. On part de $f(x)=\exp\frac1{x^2-1}$ pour $|x|<1$ et $f(x)=0$ sinon (en bleu) ; on intègre : $g(x)=\int_{-\infty}^xf(t)\mathrm{d}t$ (en vert). On intègre encore un coup (pas de dessin), c'est-à-dire $h(x)=\int_{-\infty}^xg(t)\mathrm{d}t$ : alors $h$ est de classe $C^\infty$, on a $h(x)=0$ si $x\le1$ et $h(x)=ax+b$ pour $x>1$ (avec $a$ et $b$ à déterminer). En jouant sur les constantes (prendre $\alpha\,h(\beta x)$ pour des constantes $\alpha$ et $\beta$ qui vont bien, ce qui revient en gros à remplacer l'intervalle $[-1,1]$ par un autre intervalle, par exemple $\bigl[-\frac1{n^{18}},\frac1{n^{18}}\bigr]$, multiplier $f$ par une constante pour que la pente de $h$ soit plus grande ou plus petite, etc.), on se débrouille.

Passer de continu à $C^\infty$, c'est pénible mais c'est du bricolage, un peu comme passer un coup de vernis pour changer l'aspect de mat à brillant : pas significatif à mon sens.

Pourquoi c'est plus pénible ? Parce qu'on ne peut pas prendre une fonction strictement décroissante : en effet, si une fonction est strictement décroissante, elle est strictement inférieure à $1$ au-delà d'un certain point et le carré de cette fonction est donc plus petit que la fonction. Il faut donc aller chercher des fonctions qui taquinent l'infini mais ça, eh bien, il faut les fabriquer parce qu'on n'a pas de formule toute faite (peut-être qu'en cherchant bien...).

@Marsup :je ne connaissais pas cet intéressant théorème sur les séries .

Une remarque intéressante, en revanche, c'est que
$\sum |a_n|$ converge, $\Longrightarrow$ $\sum a_n^2$ converge.
mais : $\int_{0}^1 f^2$ converge, $\Longrightarrow$ $\int_0^1 |f|$ converge.

supp

Ici, il s'agit d'intégrales généralisées (pas d'intégrales de Riemann, donc), je ne sais pas ce que tu appelles « critère des intégrales de Riemann ».

Oui voilà !