Intégrale de Lebesgue

Celmar2Ceaumar · April 2019

Bonjour,
je ne comprends pas plusieurs choses sur l'intégrale de Lebesgue.

1) Déjà pourquoi dans l'intégrale note-t-on $g(x)d\mu(x)$ ? Dans la définition de l'intégrale à aucun moment $\mu$ ne dépend de $x$ ...

2) Dernier point que je ne comprends pas.
"Soit $f : \R^d\to \C$ une fonction intégrable au sens de Riemann. Alors $f$ est mesurable pour la tribu de Lebesgue $L(R^d)$ et $f$ est intégrable pour la mesure de Lebesgue ?"
Et après on me dit "Une fonction intégrable au sens de Riemann n’est pas nécessairement borélienne." Pourtant par borélienne on entend "mesurable" non ?

Merci pour votre aide.

Corto · April 2019

Pour le premier point il s'agit simplement d'une notation, c'est une façon de bien préciser qu'on intègre par rapport à la variable $x$. Lorsqu'il n'y a qu'une variable ce n'est pas très utile mais dès qu'il y en a deux ça devient presque indispensable.

Pour ta deuxième question : en général la mesurabilité est définie par $\forall B\in \mathcal B(\R), \; f^{-1}(B) \in \mathcal L(\R)$. Les fonctions mesurables sont donc plus générales que les fonctions Boréliennes puisque $\mathcal B(\R) \subset \mathcal L(\R)$.

Celmar2Ceaumar · April 2019

Merci Corto pour te réponses. Alors effectivement je n'ai pas du comprendre. Pour moi la mesurabilité est définie par :
Une fonction f : e -> f est dite (E ,F)-mesurable si la tribu image réciproque par f de la tribu F est incluse dans E.
Ainsi si f : R -> R, dans ta définition est-ce qu'on ne doit pas remplacer L(R) par B(R) plutôt. Je crois que je ne comprends pas ...

Merci

Corto · April 2019

C'est encore une histoire de conventions en fait. Quand on a une fonction $f : \R \to \R$ le mot "mesurable" sans autres précisions abrège "$(\mathcal L(\R), \mathcal B(\R))$-mesurable".

Celmar2Ceaumar · April 2019

Ok merci beaucoup

Intégrale de Lebesgue

Réponses

Bonjour!

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 3