EDO: un problème de définition

Bonjour

J'aimerai avoir des avis sur la définition de "solution maximale d'une EDO."
Par exemple si on considère l'équation différentielle $xy'+y-xy^3=0$ avec la condition initiale $y(x_0)=y_0$,
L'équation étant non résolue en $x=0,$ le théorème de Cauchy-Lipschitz s'applique sur chaque point du plan $\R^2$ privé de la droite $x=0.$
Par ailleurs ce théorème ne joue pas vraiment un rôle dans ma question.
Si je considère le cas particulier $y_0=0$ et $x_0>0$ (puis de façon analogue $x_0<0$) , pour tout intervalle ouvert $I=(a,b) 0\leq a < b \leq +\infty)$ contenant $x_0$, le couple $(f,I)$ est une solution locale de l'EDO.

En particulier $(f,]0,\infty[)$ est une solution locale. Mais vu la définition de solution globale, peut-on justement qualifier $(f,]0,\infty[)$ de solution globale alors qu'on sait que le couple $(f,]-\infty,+\infty[)$ est aussi solution de l'EDO? (Bien sûr je pense que ce n'est pas le cas mais tout de même maintenant je m'interoge?...)
C'est donc ma question: avoir une confirmation ou pas de cela .

Remarque: L'analyse de l'EDO me dit qu'il n'y a aucune autre solution locale de l'EDO au point $(x_0,y_0)=(0,0).$
Mais supposons que cela ne soit pas le cas, est-ce que cela changerait la réponse (c'est à dire l'unicité intervient-elle dans la définition de solution maximale)?

Merci d'avance.