EDO: un problème de définition
Bonjour
J'aimerai avoir des avis sur la définition de "solution maximale d'une EDO."
Par exemple si on considère l'équation différentielle $xy'+y-xy^3=0$ avec la condition initiale $y(x_0)=y_0$,
L'équation étant non résolue en $x=0,$ le théorème de Cauchy-Lipschitz s'applique sur chaque point du plan $\R^2$ privé de la droite $x=0.$
Par ailleurs ce théorème ne joue pas vraiment un rôle dans ma question.
Si je considère le cas particulier $y_0=0$ et $x_0>0$ (puis de façon analogue $x_0<0$) , pour tout intervalle ouvert $I=(a,b) 0\leq a < b \leq +\infty)$ contenant $x_0$, le couple $(f,I)$ est une solution locale de l'EDO.
En particulier $(f,]0,\infty[)$ est une solution locale. Mais vu la définition de solution globale, peut-on justement qualifier $(f,]0,\infty[)$ de solution globale alors qu'on sait que le couple $(f,]-\infty,+\infty[)$ est aussi solution de l'EDO? (Bien sûr je pense que ce n'est pas le cas mais tout de même maintenant je m'interoge?...)
C'est donc ma question: avoir une confirmation ou pas de cela .
Remarque: L'analyse de l'EDO me dit qu'il n'y a aucune autre solution locale de l'EDO au point $(x_0,y_0)=(0,0).$
Mais supposons que cela ne soit pas le cas, est-ce que cela changerait la réponse (c'est à dire l'unicité intervient-elle dans la définition de solution maximale)?
Merci d'avance.
J'aimerai avoir des avis sur la définition de "solution maximale d'une EDO."
Par exemple si on considère l'équation différentielle $xy'+y-xy^3=0$ avec la condition initiale $y(x_0)=y_0$,
L'équation étant non résolue en $x=0,$ le théorème de Cauchy-Lipschitz s'applique sur chaque point du plan $\R^2$ privé de la droite $x=0.$
Par ailleurs ce théorème ne joue pas vraiment un rôle dans ma question.
Si je considère le cas particulier $y_0=0$ et $x_0>0$ (puis de façon analogue $x_0<0$) , pour tout intervalle ouvert $I=(a,b) 0\leq a < b \leq +\infty)$ contenant $x_0$, le couple $(f,I)$ est une solution locale de l'EDO.
En particulier $(f,]0,\infty[)$ est une solution locale. Mais vu la définition de solution globale, peut-on justement qualifier $(f,]0,\infty[)$ de solution globale alors qu'on sait que le couple $(f,]-\infty,+\infty[)$ est aussi solution de l'EDO? (Bien sûr je pense que ce n'est pas le cas mais tout de même maintenant je m'interoge?...)
C'est donc ma question: avoir une confirmation ou pas de cela .
Remarque: L'analyse de l'EDO me dit qu'il n'y a aucune autre solution locale de l'EDO au point $(x_0,y_0)=(0,0).$
Mais supposons que cela ne soit pas le cas, est-ce que cela changerait la réponse (c'est à dire l'unicité intervient-elle dans la définition de solution maximale)?
Merci d'avance.
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Réponses
Ta solution $(f,(0,\infty))$ est n'est donc pas une solution globale du problème si on prend pour U le domaine naturel de définition de $f$ qui est $(- \infty,0) \cup (0\infty)$. Mais c'est une solution globale du même problème avec $U=(0, \infty)$.
Mais l'EDO est de la forme $\Phi(y',y,x)=0 $ Le domaine d'étude pour la variable x est donc $\R.$
Bon je crois finalement que c'est un point de détail.
Le problème venant d'un exercice sur cette équation dont l'énoncé est ambigüe